Mathe Grundlagen der Analysis

Question

Aufgabe 1
Beweisen Sie folgende Teilaussage von Lemma 1.2.4.2: Seien M1, M2, M3 ⊆ R und f :
M1 → M2, g : M2 → M3 streng monoton fallend, so ist g ◦ f streng monoton steigend.

Aufgabe 2:
Beweisen Sie: Die Funktion

f : R⁺₀ →R⁺₀ , f(x) = x⁴ , ist streng monoton wachsend.
Hinweis: Es gibt mehr als eine Möglichkeit, dies zu beweisen, und verschiedene Wege sind
unterschiedlich aufwendig.

Sorry ich weiß nicht wie man das macht danke im voraus ❤️❤️❤️

Comments

Alternative zu Aufgabe 2: Für x > y ≥ 0 gilt x⁴ - y⁴ = (x - y)·(x + y)·(x² + y²) > 0.

Answer 1

Aufgabe 1
Beweisen Sie folgende Teilaussage von Lemma 1.2.4.2: Seien M1, M2, M3 ⊆ R und f :
M1 → M2, g : M2 → M3 streng monoton fallend, so ist g ◦ f streng monoton steigend.

Sei a < b ==>  f(a) > f( b) da f streng mon. fallend,
                   also  f(b) < f(a ) und wegen g streng mon. fallend folgt

                           g(f(b) > g(f(a)) .

somit folgt aus a<b jedenfalls (g ◦ f)(a) < (g ◦ f)(b) also g ◦ f st. mon. steigend.


Aufgabe 2:
Beweisen Sie: Die Funktion

f : R+0 →R+0 , f(x) = x4 , ist streng monoton wachsend.
Hinweis: Es gibt mehr als eine Möglichkeit, dies zu beweisen, und verschiedene Wege sind
unterschiedlich aufwendig.
 Ableitung ist f ' (x) = 4x^3 und das ist für x>0 immer positiv, also f streng mon. wachsend.

Comments

Es ist aber f'(0)=0.

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OK, aber im Inneren von R_o⁺ ist f ' (x) > 0.

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Okay danke ich versuche es mal zu verstehen

Was meinen Sie in den Kommentaren?

Die Ableitung von f(0) ist 0.

Und Sie meinen Ableitung von f (x) ist größer 0?

Hmm?

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Ich verstehe das irgendwie nicht haben Sie für M1, M2, M3 selber jetzt a und b eingesetzt

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g o f streng monoton wachsend heißt doch:

Für alle a,b aus M1 gilt

a < b ==> (g o f) (a) < (g o f) (b) .