Cauchy - Strenge und Grundlagen in der Mathematik

Question

ich verfasse meine W-Seminararbeit, eine wissenschaftliche Arbeit in der 12. Klasse eines Gymnasiums, über den Mathematiker Augustin-Louis Cauchy. Wenn ich mich über seine Mathematik lese kommt oft die Information, dass er die Grundlagen der Analysis verschärft (=Arithmetisierung) und eine neue Strenge eingeführt hat. Ich denke mal zwischen diesen Begriffen muss irgendein Zusammenhang liegen, nur welcher. Kann mir das bitte jemand erklären und zwar für einen Schüler der aber in Mathe gut ist.

Etwas unsicher bin ich auch ob Cauchy diese Strenge in der ganzen Mathematik oder nur in der Analysis verbessert hat und ob seine Leistung in den Grundlagen und Strenge noch heute von Bedeutung sind und inwiefern.

Answer 1

Der hat wohl hauptsächlich im Bereich Analysis gearbeitet

und das hat bis heute noch Auswirkungen. Ein Beispiel ist

etwa die Definition des Grenzwertes einer Folge.

Vermutlich habt ihr in der Schule da ja eine mehr

anschauliche Definition getroffen, vielleicht so in

der Art: " a ist Grenzwert der Folge a_n für n gegen ∞

wenn für große Werte von n die Folgenglieder alle in der

Nähe von a liegen. "

Das wurde wohl erstmals von ihm stärker formalisiert, wie es heute

noch üblich in der Art:

" a ist Grenzwert der Folge an für n gegen ∞.

<=> Zu jedem ε>0 gibt es ein N ∈ℕ so dass für alle n>N gilt | an-a| < ε " 

Diese heute auch schon mal "Epsolontik" benannte Methode hat er

wohl in seinen Vorlesungen und einem Buch eingeführt.

Wird ganz nett dargestellt bei

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/augustin-louis-cauchy

Zitat: "Besonders erfolgreich war CAUCHY in seiner Lehrtätigkeit. So entstand aus seinen Vorlesungen das Buch „Cours d’Analyse de l’École Polytechnique“ (Lehrgang der Analysis an der polytechnischen Schule).
Dieses auf Anregung von LAPLACE und POISSON entstandene Werk stellt eine (erstmals geschlossen dargelegte) Einführung in die Grundlagen der Infinitesimalrechnung dar und gilt als ein Meilenstein in der Entwicklung der Analysis."

Comments

Danke vielmals, aber hast du auch eine idee zum Problem Strenge und Grundlagen.

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Grundlagen: Die ganze klassische Analysis baut auf

dem Begriff des Grenzwertes auf (bzw. man kann sie darauf aufbauen)

deshalb gehört der zu den Grundlagen. Daraus würde man weitere grundlegende Begriffe wie

Stetigkeit , Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit ableiten.

Und "Strenge" heißt hier eben:

Anschauliche Begriffe wie " für große Werte von n liegen die Folgenglieder alle in der Nähe von a . "  werden mittels Ungleichungen und

All- und Existenzaussagen durch präzise mathematische Begriffe

beschrieben.

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Danke :)

Da dies z.T. in meiner Arbeit eine Rolle spielt will ich nochmals kurz nachhacken. Strenge bedeutet also, dass man diese All- und Existenzaussagen, auf die die Mathematik aufbaut und somit die Grundlagen sind, mithilfe der menachlichen Logik präzise darzulegen. Bezieht sich die Strenge aber nur auf die Grundlagen. Die Grundlagen an sich, sind jetzt die Grenzwerte und bauen auf der reinen Logik auf. Ist das was ich bis jetzt geschrieben hab richtig?

Was meintest du aber damit, dass du in deinem Kommwntar unter Strenge geschrieben hast: Anschauliche Begriffe wie " für große Werte von n liegen die Folgenglieder alle in der Nähe von a . "  werden mittels Ungleichungen beschrieben. Was hat das mit der Strenge und den Existenzaussagen zu tun, die durch präzise Begriff dargelegt werden.

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Strenge bedeutet einfach nur:

Es wird nichts auf die Anschauung gestützt, sondern alles

mit eindeutig definierten Begriffen beschrieben.

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Also!: wenn man die Grundlagen präzisieren will braucht man die Strenge, da sie diese Präzision bietet. Grundlagen allein sind aber mathematische Begriffe wie Grenzwert. Richtig?

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Kann man wohl so sagen.

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Danke vielmals und entschuldige bitte meinen Stress.

Trifft mein letzter Kommentar nun den Punkt zur Beziehung Grundlagen-Strenge, da deine Formulierung "kann man wohl so sagen" danach klingt als wäre meine Auffassung noch nicht zu 100% richtig.