Zeige strenge Monotonität fa(x)= a/e^{2x}+a

Question

f_a(x) = a/e^{2x}+a

zeigen sie, dass fa für a>0 streng monoton ist, nicht aber für a<=0.

Für welche a € R ist fa injektiv? Bestimmen sie gegebenfalls die Umkerfunktion fa^{-1} inklusive Deffinitionsberreich D(fa^{-1})

a>0 war kein thema für mich es ist streng monoton fallend 

a=0 ist 0 also ist es nicht streng monoton.

a<0 macht mir probleme ich habe ja die deff 1/2ln(-a)

da bitte bitte weiter helfen und die anderen aufgaben danke

Comments

Nachfrage : wie heißt die Funktion

f_a(x) = a/e^2x + a

oder

f_a(x) = a /  e^{2x+a}

---

Wie oben wie dein erster fall

---

1. Fall:  Also + a neben und nicht unter dem Bruchstrich.

Answer 1

a<0 macht mir probleme ich habe ja die deff 1/2ln(-a) . Was ist das ?

Ansonsten

f ´ ( x ) = - 2 * a * e^{-2x}

e^{-2x} ist stets positiv.

für a > 0 ist f ´ negativ
für a < 0 ist f ´ positiv

Ich sehe keine Lücken oder Polstellen in f
Für beides ist f streng monoton.

Answer 2

f_a(x) = a/e^2x + a

a<0 macht mir probleme ich habe ja die deff 1/2ln(-a)

f ' (x) = -2a * e ^-2x   oder  =   -2a  /  e ^2x 
also ist  für a<0 die Funktion streng mon. steigend also
auch injektiv . (nur eben für a=0 nicht)

Also existiert für a ungleich 0 immer eine Umkehrfunktion, da f injektiv.
und die Wertemenge von f_a  ist     ] a  ;  unendlich [    für positives a
                                              und  ] - unendlich ; a [  für  negatives a

Gl von f ^-1   :     x = a/e^2y + a                    besser  x = a*e ^-2y + a

x-a  =  a*e ^-2y

                                                                              x/a - 1 =  e ^-2y    

                                                                      ln ( x/a - 1 ) =   -2y   

                                                                          -0,5 *   ln ( x/a - 1 ) =  y         

                                   und im Rahmen der Definitionsbereiche so auch definiert.