Verständnisfrage zu der Bestimmung von Extrem-, Wende- und Terassenpunkten

Question

ich gehe in die 11. Klasse eines Gymnasiums und habe eine Frage zu Extrem-, Wende- und Terassenpunkten.

Um Extrempunkte zu berechnen, ist ja das notwendige Kriterium, dass die erste Ableitung 0 ist und die hinreichenden Kriterien, dass die zweite Ableitung größer oder kleiner als 0 ist; bei Wendepunkten muss die zweite Ableitung null betragen und die dritte kleiner oder größer als null sein und bei einem Terassenpunkt musst zusätzlich auch die erste Ableitung 0 betragen.

Ich frage mich nun, wie es dazu kommt, dass die zweite Ableitung bei Extrema und die dritte bei Terrassen- und Wendepunkten größer oder kleiner als null sein muss und nicht null sein darf.

Mein Lehrer hat gemeint, dass die zweite (bei Extrema) bzw. dritte Ableitung (bei Wende- und Terassenpunkten) die Krümmung der jeweiligen Funktion angibt, aber weswegen? Kann man das geometrisch irgendwie begründen, oder ist es nur möglich, dass durch Ausprobieren unterschiedlicher Funktionen herauszufinden?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Ich frage mich nun, wie es dazu kommt, dass die zweite Ableitung bei Extrema und die dritte bei Terrassen- und Wendepunkten größer oder kleiner als null sein muss und nicht null sein darf.

Sie darf auch null sein. Allerdings gibt dann das Kriterium keine Aussage. Deswegen Nutze ich eigentlich meist nur das Vorzeichenwechselkriterium. Das ist einfacher weil man die Vielfachheit der Nullstellen eigentlich immer direkt ablesen kann.

Lehrer mögen das Vorzeichenwechselkriterium aber irgendwie nicht so gerne. Vermutlich weil man da einen Satz dazuschreiben sollte und nicht einfach nur eine Zahl ausrechnen kann.

Comments

Danke für Ihre Antwort.

Ich frage mich nur, wie es dazu kommt, dass die zweite bzw. dritte Ableitung die Krümmung beschreibt. Können Sie mir da eventuell weiterhelfen?

---

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung.

Die zweite Ableitung ist doch die Ableitung der Ableitung. Also die Ableitung der Steigungsfunktion und damit die Änderung der Steigung.

Nimmt die Steigung zu f''(a) > 0 dann macht der Graph eine Linkskurve.

Nimmt die Steigung ab f''(a) < 0 dann macht der Graph eine Rechtskurve.

Betrachte einfach mal verschiedene Wendepunkte in Graphen, dann siehst du das.

---

Okay, ich verstehe. Vielen Dank für Ihre Antwort!

Answer 2

Die Formeln sind hergeleitet worden.

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.

Differentialgeometrie Krümmung

k=y´´/(1+(y´)²)^(3/2)

k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben gesehen)

k>0 konkav (Linkskrümmung,von oben gesehen)

Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen voneinander konvex/konkav

Wenn dich die Herleitungen interessieren,dann nehme eine Funktion f(x)=... und untersuche sie.

Bringt aber nichts,weil das viel Arbeit ist und auch kompliziert und kostet dir nur Zeit.

Der Sattelpunkt (Terrassenpunkt,Stufenpunkt) liegt halt parallel zur x-Achse,somit f´(x)=m=0

Comments

In Ordnung, vielen Dank für Ihre Antwort!