Lineare Approximation zweier Veränderlicher

Question

Hallo ein Beispiel habe wo ich mir nicht sicher bin ob das was ich da gerechnet habe so passt.

F(x, y) =\( \frac{5y^2 }{1+x} \)

1. Linearisierung von f an der Stelle x0 =0,5 , y0=2

2. Apprximierten Wert und tatsächlichen Wert bei x= 0,6  y =1,8

Ich habe die partiellen 1.Ableitungen gebildet: f'(x) =\( \frac{5y^2 }{(1+x)^2   } \)

f'(y) =\( \frac{10y}{x+1} \).

Das habe ich dann infolgende Formel eingesetzt:

Z= f(x0, y0) +fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0, y0)(y-y0)

Ich erhalte dann als Ergebnis:

-71,11=8,88x +40y

2. Muss ich die beiden stellen ändern und einmal in die Ursprungsfunktion einsetzen und einmal in die die ich bei 1. Als Ergebnis bekommen habe oder

Bitte um Hilfe, danke.

Answer 1

Z= f(x0, y0) +fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0, y0)(y-y0)

ist gut, da bekomme ich erst mal

Z= 13,333 +fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0, y0)(y-y0)

und bei der part. Ableitung nach x habe ich noch ein minus davor, also

f_x(x,y) = - 5 y^2 / (x+1) ^2

==> Linearisierung ist

 Z(x,y) = 13,333 -8,889(x-0,5) +13,333(y-2)

hat an der Stelle (0,6 ; 1,8) den Wert 9,778

und der exakte Wert ist f(0,6 ; 1,8 ) = 10,125

Comments

Danke vielmals!

Answer 2

Die Ableitung nach \( x \) ist falsch, da fehlt ein Minuszeichen. Und dann die Werte einsetzten, an denen Du das Ergebnis berechnen sollst.

Also linearisieren bei \( x_0 = 0.5 \) und \( y_0 = 2 \).

Dann das Ergebnis ausrechnen bei \( x = x_1 = 0.6 \) und \( y = y_1 = 1.8 \)

Answer 3

Ich hab es mal ausgerechnet:

Text erkannt:

\( f(x, y)=\frac{5 y^{2}}{1+x} \)
\( f_{x}(x, y)=\frac{-5 y^{2}}{(1+x)^{2}} \quad f_{y}(x, y)=\frac{10 y}{1+x} \)
\( f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{-5 \cdot 4}{\frac{9}{4}}=\frac{-20}{\frac{2}{4}}=\frac{-80}{9} \)
\( f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{10 \cdot 2}{\frac{2}{2}}=\frac{20}{\frac{3}{2}}=\frac{40}{3} \)
\( f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{5 \cdot 4}{\frac{3}{2}}=\frac{20}{\frac{2}{2}}=\frac{40}{3} \)
Die Tangenlialebene loutet dann:
\( z(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right) \)
\( \Rightarrow \quad z(x, y)=\frac{40}{3}+\frac{-80}{9}(x-0,5)+\frac{40}{3}(y-2) \)
\( z(x, y)=\frac{40}{3}-\frac{80}{8} x+\frac{40}{9}+\frac{40}{3} y-\frac{80}{3} \)
\( z(x, y)=-\frac{80}{9}-\frac{80}{9} x+\frac{40}{3} y \)
Jert barechnest Du
\( z(0,6 ; 1,2)=-\frac{80}{9}-\frac{80}{9} \cdot \frac{6}{10}+\frac{40}{3} \cdot \frac{18}{10} \)
\( =-\frac{80}{9}-\frac{16}{3}+24=-\frac{128}{8}+\frac{72}{3}=\frac{88}{9} \approx 9, \widetilde{7} \)
\( f(0,6 ; 1,8)=10,125 \)