Aloha :)
Wir haben 3 Punkte gegeben, \((30|7,5),(70|6,2),(120|9,8)\), und suchen eine passende Parabel. Da wir 3 Punkte gegeben haben, wählen wir als Ansatz:$$f(x)=a+b(x-30)+c(x-30)(x-70)$$Nun setzen wir ein:$$7,5=f(30)=a\quad\Rightarrow\quad a=7,5$$$$6,2=f(70)=a+40b\quad\Rightarrow\quad40b=6,2-a=-1,3\quad\Rightarrow\quad b=-\frac{13}{400}$$$$9,8=f(120)=a+90b+90\cdot50c=4,575+4500c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{209}{180\,000}$$Die 3 Werte setzen wir in den Ansatz ein und finden:
$$f(x)=\frac{15}{2}-\frac{13}{400}(x-30)+\frac{209}{180\,000}(x^2-100x+2100)$$$$f(x)=\frac{209}{180\,000}x^2-\frac{107}{720}x+\frac{1637}{150}$$
Wir brauchen noch die Geschwindigkeit des geringsten Verbrauchs:$$0=f'(x)=\frac{418}{180\,000}x-\frac{107}{720}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{13375}{209}\approx64,00\,\frac{km}{h}$$Der Benzinverbrauch ist bei \(64\,\frac{km}{h}\) mit \(6,158\,\ell\) am niedrigsten.
~plot~ 209/180000*x^2-107/720*x+1637/150 ; {64|6,158} ; {30|7,5} ; {70|6,2} ; {120|9,8} ; [[0|130|0|10]] ~plot~
