Aloha :)
Wir reparametrisieren \(\vec r(t)=\vec r(s(t))\). Wenn wir nicht die Differentialschreibweise verwenden, bedeutetet "Punkt" Ableitung nach \(t\) und Strich Ableitung nach \(s\). Ziel ist es, dass am Ende \(\vec r\) nur Strich-Ableitungen trägt und \(s\) nur Punkt-Ableitungen, daher hilft mir die Unterscheidung, mich nicht zu verfummeln.
$$\dot{\vec r}(s(t))=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{d\vec r}{ds}\,\frac{ds}{dt}=\vec r\,'\,\dot s$$$$\ddot{\vec r}(s(t))=\frac{d\dot{\vec r}}{dt}=\frac{d(\vec r\,'\,\dot s)}{dt}=\frac{d\vec r\,'}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\dot s+\vec r\,'\,\frac{d\dot s}{dt}=\vec r\,''\dot s^2+\vec r\,'\ddot s$$$$\stackrel{...}{\vec r}(s(t))=\frac{d\ddot{\vec r}}{dt}=\frac{d(\vec r\,''\dot s^2+\vec r\,'\ddot s)}{dt}=\frac{d\vec r\,''}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\dot s^2+\vec r\,''\,\frac{d\dot s^2}{dt}+\frac{d\vec r\,'}{ds}\,\frac{ds}{dt}\,\ddot s+\vec r\,'\,\frac{d\ddot s}{dt}$$$$\phantom{\stackrel{...}{\vec r}(s(t))}=\vec r\,'''\,\dot s^3+2\,\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,'\stackrel{...}s=\vec r\,'''\,\dot s^3+3\,\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,'\stackrel{...} s$$Damit prüfen wir die Krümmung:
$$\kappa=\frac{\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|}{\left|\dot{\vec r}\right|^3}=\frac{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2+\vec r\,'\ddot s)\right|}{\left|\vec r\,'\,\dot s\right|^3}=\frac{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)+(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,'\ddot s)\right|}{\left|\vec r\,'\,\dot s\right|^3}$$$$\phantom{\kappa}\stackrel{(*)}{=}\frac{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right|}{\left|\vec r\,'\,\dot s\right|^3}=\frac{\left|\dot s^3\right|\,\left|(\vec r\,')\times(\vec r\,'')\right|}{\left|\dot s^3\right|\,\left|\vec r\,'\right|^3}=\frac{\left|(\vec r\,')\times(\vec r\,'')\right|}{\left|\vec r\,'\right|^3}\quad\checkmark$$(*) Das Vektorprodukt von 2 kollinearen Vektoren ist \(\vec 0\).
$$\tau=\frac{\left(\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right)\stackrel{...}{\vec r}}{\left|\dot{\vec r}\times\ddot{\vec r}\right|^2}\stackrel{s.o}{=}\frac{\left((\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right)}{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right|^2}\left(\vec r\,'''\,\dot s^3+3\,\vec r\,''\dot s\ddot s+\vec r\,'\stackrel{...} s\right)$$$$\phantom{\tau}\stackrel{(**)}{=}\frac{\left((\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right)}{\left|(\vec r\,'\,\dot s)\times(\vec r\,''\dot s^2)\right|^2}\left(\vec r\,'''\,\dot s^3\right)=\frac{\dot s^6\left(\vec r\,'\times\vec r\,''\right)\,\vec r\,'''}{\left|\dot s^6\right|\,\left|\vec r\,'\times\vec r\,'\right|^2}=\frac{\left(\vec r\,'\times\vec r\,''\right)\,\vec r\,'''}{\left|\vec r\,'\times\vec r\,''\right|^2}\quad\checkmark$$(**) Das Vektorprodukt steht auf seinen beiden Vektoren senkrecht. Daher ist das Skalarprodukt mit \(\vec r\,''\) und \(\vec r\,'\) gleich Null.
