Um die Ortschaft D, die an der geraden Straße durch A\((0 | 35)\) und B\((35|0)\) liegt, wird eine Umfahrungsstraße gebaut. Diese soll in A und B tangential in die alte Straße münden und durch den Punkt C\((\frac{35}{2}|\frac{35}{4})\) gehen.
Wir haben 3 Punkte und 2 Steigungen: Grad 4
\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
A\((0 | 35)\):
\(f(0)=e\)
1.) \(e=35\)
B\((35 |0)\):
\(f(35)=35^4a+35^3b+35^2c+35d+35\)
\(35^4a+35^3b+35^2c+35d+35=0 |:35\):
2.) \(35^3a+35^2b+35c+d+1=0 \)
C\((\frac{35}{2}|\frac{35}{4})\) :
\(f(\frac{35}{2})=(\frac{35}{2})^4a+(\frac{35}{2})^3b+(\frac{35}{2})^2c+(\frac{35}{2})d+35\)
\((\frac{35}{2})^4a+(\frac{35}{2})^3b+(\frac{35}{2})^2c+(\frac{35}{2})d+35=\frac{35}{4}\)
\((\frac{35^4}{2^4})a+(\frac{35^3}{2^3})b+(\frac{35^2}{2^2})c+(\frac{35}{2})d+35=\frac{35}{4}|:35\)
\((\frac{35^3}{2^4})a+(\frac{35^2}{2^3})b+(\frac{35}{2^2})c+(\frac{1}{2})d+1=\frac{1}{4}|\cdot 4\)
3.) \((\frac{35^3}{2^2})a+(\frac{35^2}{2})b+35c+2d=0\)
Steigungen verarbeiten:
\(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\)
Die Ortsstraße hat die Steigung \(m=-1\)
A\((0 | ...)\)
\(f'(0)=d\)
4.) \(d=-1\)
B\((35 | ...)\)
\(f'(35)=4a\cdot 35^3+3b\cdot 35^2+2c\cdot 35-1\)
\(4a\cdot 35^3+3b\cdot 35^2+2c\cdot 35-1=-1\)
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5.) \(4a\cdot 35^3+3b\cdot 35^2+2c\cdot 35=0\)
2.) \(35^3a+35^2b+35c=0|:35 \)
2.) \(35^2a+35b+c=0 \)
3.) \((\frac{35^3}{2^2})a+(\frac{35^2}{2})b+35c-2=0\)
Nun a , b ,c bestimmen
\(f(x)=...\)
