Differentialgleichung durch Variablentrennung lösen

Question

Hallo :-),

Aufgabe: logistische Gleichung mit Variablentrennung lösen.

seien a,b ∈ ℝ  Konstanten mit b > 0.

ů = au(b-u), u(t0) = u0

ich habe Schwierigkeiten die Aufgabe zu beginnen und zu lösen, da ich die form y'=f(x)g(y) nicht darin erkennen kann, um für mich verständlich zu beginnen. 

 Danke für die Hilfe.

LG

Answer 1

Versuch es doch mal damit:

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node183.html

Bei Fragen einfach nochmal melden.

Das linke Integral kannst Du auch mit der Partialbruchzerlegung lösen.

Comments

Hallo Woodoo,

danke für deine schnelle Antwort. :-)

ist es denn möglich ů als uy/ux zu schreiben, da das u ja glaube ich nicht von x abhängt, oder habe ich grade einen doofen Denkfehler?

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Deine DGL lautet doch:

$$ \frac{du}{dt}=a · u(t)(b-u(t)) $$

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Ihr Lieben,

ist dies korrekt, oder habe ich Rechen- und Denkfehler? .

Ich habe versucht es auf u und t aufzuteilen und habe dann : du u (b-u) = dt a erhalten.

Ich schreibe es zur Vereinfachung hin und erhalte:  ∫1/(b-u)u du =  ∫ 1/a dt.

Nun integriere ich beide Seiten und erhalte:

( ln(|u|) - ln(|u-b|) ) / b + C und t/a + C.

Dann setze ich meine Abhängigkeiten aus der 'Bedingung' ein und erhalte zusammengefasst:

( ln (u0-b) - ln(u0) - ln (u-b) + ln(t)) / b und (t -t0)/a.

muss ich jetzt nur noch nach u umstellen?

Danke für die Hilfe!