Teilmenge Beweis Mengenlehre

Question

Hallo,
ich soll Folgendes beweisen:

(A∩C)∪(B∩D)⊆(A∪B)∩(C∪D)

Also:

((A geschnitten C) vereinigt (B geschnitten D)) ist Teilmenge von ((A vereinigt B) geschnitten (C vereinigt D))

Ich habe auch einen Lösungsweg mit aussagenlogischen Argumenten, bin mir jedoch nicht sicher. Daher wollte ich mir ein paar eurer Lösungswege anschauen, um sicherzugehen, dass meine Lösung stimmt.

Vielen Dank

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(A∩C)∪(B∩D)⊆(A∪B)∩(C∪D)

Answer 1

 (A∩C)∪(B∩D)⊆(A∪B)∩(C∪D)

Bew.: Sei x ∈  (A∩C)∪(B∩D)

==>  x ∈  (A∩C)    v       x ∈ (B∩D)

1. Fall :  x ∈  (A∩C)

==>   x ∈  A      ∧      x ∈ C

Da A⊆ A∪B  und  C ⊆ C∪D gilt auch

 x ∈  A∪B      ∧      x ∈ C∪D

==>  x ∈  (A∪B)∩(C∪D)

2. Fall:  x ∈  (B∩D)

==>   x ∈  B      ∧      x ∈ D

Da B⊆ A∪B  und  D ⊆ C∪D gilt auch

x ∈  A∪B      ∧      x ∈ C∪D

==>  x ∈  (A∪B)∩(C∪D)

Also in jedem Fall   x ∈  (A∪B)∩(C∪D)          q.e.d.

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Danke, ähnlich hatte ich es auch.