Verständnisfrage: Surjektiv, injektiv, bijektiv

Question

Hallo alle, ich hab ne kleine Frage ob ich das richtig gelöst habe:

Aufgabe: Gegeben sind die Definitionsmenge \( \mathcal{D}=\{1,2,3,4,5\} \) und die Abbildungen

\( \begin{array}{ll}f_{1}: & \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{N} \\ f_{2}: & \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{N} \\ f_{3}: & \mathcal{D} \rightarrow\{1,2,5\} \\ f_{4}: & \mathcal{D} \rightarrow\{2,5,8,11,14\}\end{array} \)

\( f_{1}(x)=3 x-1 \)
\( f_{2}(x)=x^{2}-6 x+10 \)
\( f_{3}(x)=x^{2}-6 x+10 \)
\( f_{4}(x)=3 x-1 \)

1: Geben Sie an, ob die Funktionen f 1 , f 2 , f 3 und f 4 injektiv, surjektiv oder bijektiv

Meine Antwort:

f1: bijektiv

f2: surjektiv

f3: surjektiv

f4: bijektiv

2: Bestimmen Sie den Funktionsausdruck für f 1 ◦ f 2 .

Bei dieser Aufgabe fehlt mir jedoch vollkommen der Ansatz.

Bin dankbar für jede Hilfe :)

Gruß naili

Answer 1

Aloha :)

"injektiv" bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht.

"surjektiv" bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal erreicht.

"bijektiv" bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird genau 1-mal erreicht.

Ein Funktion ist also bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Gehen wir damit mal deine Aufgaben durch:

\(f_1\) bildet ab auf: \(2\), \(5\), \(8\), \(11\) und \(14\)

Jedes Element der Zielmenge \(\mathbb{N}\) wird höchstens 1-mal erreicht, also ist \(f_1\) injektiv.

Aber die \(1\) aus der Zielmenge \(\mathbb{N}\) wird niemals erreicht, also ist \(f_1\) nicht surjektiv.

\(f_2\) bildet ab auf \(5\), \(2\), \(1\), \(2\) und \(5\)

Die \(2\) aus der Zielmenge \(\mathbb{N}\) wird mehr als 1-mal erreicht, also ist \(f_2\) nicht injektiv.

Die \(3\) aus der Zielmenge \(\mathbb{N}\) wird nicht erreicht, also ist \(f_2\) nicht surjektiv.

\(f_3\) ist wie \(f_2\), aber hier ist die Zielmenge nicht \(\mathbb{N}\), sondern \(\{1,2,5\}\).

Die \(2\) aus der Zielmene wird mehr als 1-mal erreicht, also ist \(f_3\) nicht injektiv.

Jedes Element der Zielmenge wird erreicht, also ist \(f_3\) surjektiv.

\(f_4\) ist wie \(f_1\), aber hier ist die Zielmenge nicht \(\mathbb{N}\), sondern \(\{2,5,8,11,14\}\).

Jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht => injektiv

Jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal erreicht => surjektiv

Weil die Funktion injektiv und surjektiv ist, ist sie auch bijektiv.

Der Funktionsausdruck für \(f_1\circ f_2(x)\) existiert streng genommen nicht. Die Funktion \(f_2:D\to\mathbb{N}\) bildet auf die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) ab. Aber die Funktion \(f_1:D\to\mathbb{N}\) hat nicht \(\mathbb{N}\) als Definitionsmenge, sondern nur \(D\). Damit ist die Hintereinanderausführung (zuerst wirkt \(f_2\) auf \(x\), danach wirkt \(f_1\) auf \(f_2(x)\)) nicht definiert.

Comments

Ah okay ich hab mein Fehler endeckt. Ich hab nicht ganz verstanden das die Zielmenge ℕ wirklich alle natürlichen Zahlen meint und nicht die Zahlen die ganz oben in der Aufgabe definiert wurden. Das hab ich verwechselt.

Vielen dank für die Aufklärung!

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Ah und ich glaube ich habe auch die 2 Aufgabe verstanden:

2: Bestimmen Sie den Funktionsausdruck für f 1 ◦ f 2 .

f₁ o f₂ = f₁(f₂(x))

Da f₂ an zweiter Stelle steht wird die Funktion ja zuerst ausgeführt oder?

Also sozusagen f₁ in f₂ einsetzen: f₁ = 3x-1 ; f₂ = x² - 6x + 10

= (3x-1)² - 6(3x-1) +10

= 9x² - 6x + 1 - 18x + 6 + 10

= 9x² - 24x + 17

f1 o f2 = f1(f2(x)) = 9x² - 24x + 17

Ist das so richtig?

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Verstehe... Das heißt, dass der Wertebereich von f₂ eine Teilmenge oder gleich der Definitionsmenge von f₁ sein muss oder?

Wenn das zuträfe, dürfte man dann den Funktionsausdruck so berechnen wie in meinem oberen Kommentar?

Und vielen dank nochmal für die Erklärung!

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Ja, ich denke, du hast das verstanden.

Wenn die Hintereinanderauführung definiert wäre, könntest du die Funktion \(f_1\circ f_2\) wie folgt zusammenbauen:$$f1\circ f_2(x)=3\underbrace{(x^2-6x+10)}_{=f_2(x)}-1=3x^2-18x+29$$Du hast die andere Reihenfolge gebaut:$$f_2\circ f_1(x)=(\underbrace{3x-1}_{=f_1(x)})^2-6(\underbrace{3x-1}_{=f_1(x)})+10$$Die rechts stehende Funktion wirkt als erste auf das \(x\).

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Ich hab mich dabei an diesem Skript-Teil orientiert:

Wir betrachten die beiden Funktionen

\( \begin{aligned} f: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto 2 x+1 \\ g: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto x^{2} \end{aligned} \)

Dann erhalten wir als Verkettung der beiden Funktionen:

\( \begin{aligned} g \circ f: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto(2 x+1)^{2} \end{aligned} \)

Die Verkettung in der anderen Reihenfolge ergibt:

\( \begin{aligned} f \circ g: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto 2 x^{2}+1 \end{aligned} \)

Wird da nicht f in g eingesetzt?

Deswegen dachte ich müsste auch f2 in f1 eingesetzt werden

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Ah nein... Ich hab schon wieder das vertauscht... Vielen dank für den Hinweis. Das muss ich echt noch üben ^^

Vielen dank für die ausführliche Erklärung!