Verständnisfrage: Surjektiv, injektiv, bijektiv

Question

Hallo alle, ich hab ne kleine Frage ob ich das richtig gelöst habe:

Aufgabe: Gegeben sind die Definitionsmenge $\mathcal{D}=\{1,2,3,4,5\}$ und die Abbildungen

$\begin{array}{ll}f_{1}: & \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{N} \\ f_{2}: & \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{N} \\ f_{3}: & \mathcal{D} \rightarrow\{1,2,5\} \\ f_{4}: & \mathcal{D} \rightarrow\{2,5,8,11,14\}\end{array}$

$f_{1}(x)=3 x-1$
$f_{2}(x)=x^{2}-6 x+10$
$f_{3}(x)=x^{2}-6 x+10$
$f_{4}(x)=3 x-1$

1: Geben Sie an, ob die Funktionen f 1 , f 2 , f 3 und f 4 injektiv, surjektiv oder bijektiv

Meine Antwort:

f1: bijektiv

f2: surjektiv

f3: surjektiv

f4: bijektiv

2: Bestimmen Sie den Funktionsausdruck für f 1 ◦ f 2 .

Bei dieser Aufgabe fehlt mir jedoch vollkommen der Ansatz.

Bin dankbar für jede Hilfe :)

Gruß naili

Answer 1

Aloha :)

"injektiv" bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht.

"surjektiv" bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal erreicht.

"bijektiv" bedeutet, jedes Element der Zielmenge wird genau 1-mal erreicht.

Ein Funktion ist also bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Gehen wir damit mal deine Aufgaben durch:

$f_1$ bildet ab auf: $2$, $5$, $8$, $11$ und $14$

Jedes Element der Zielmenge $\mathbb{N}$ wird höchstens 1-mal erreicht, also ist $f_1$ injektiv.

Aber die $1$ aus der Zielmenge $\mathbb{N}$ wird niemals erreicht, also ist $f_1$ nicht surjektiv.

$f_2$ bildet ab auf $5$, $2$, $1$, $2$ und $5$

Die $2$ aus der Zielmenge $\mathbb{N}$ wird mehr als 1-mal erreicht, also ist $f_2$ nicht injektiv.

Die $3$ aus der Zielmenge $\mathbb{N}$ wird nicht erreicht, also ist $f_2$ nicht surjektiv.

$f_3$ ist wie $f_2$, aber hier ist die Zielmenge nicht $\mathbb{N}$, sondern $\{1,2,5\}$.

Die $2$ aus der Zielmene wird mehr als 1-mal erreicht, also ist $f_3$ nicht injektiv.

Jedes Element der Zielmenge wird erreicht, also ist $f_3$ surjektiv.

$f_4$ ist wie $f_1$, aber hier ist die Zielmenge nicht $\mathbb{N}$, sondern $\{2,5,8,11,14\}$.

Jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht => injektiv

Jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal erreicht => surjektiv

Weil die Funktion injektiv und surjektiv ist, ist sie auch bijektiv.

Der Funktionsausdruck für $f_1\circ f_2(x)$ existiert streng genommen nicht. Die Funktion $f_2:D\to\mathbb{N}$ bildet auf die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ab. Aber die Funktion $f_1:D\to\mathbb{N}$ hat nicht $\mathbb{N}$ als Definitionsmenge, sondern nur $D$. Damit ist die Hintereinanderausführung (zuerst wirkt $f_2$ auf $x$, danach wirkt $f_1$ auf $f_2(x)$) nicht definiert.

Comments

Ah okay ich hab mein Fehler endeckt. Ich hab nicht ganz verstanden das die Zielmenge ℕ wirklich alle natürlichen Zahlen meint und nicht die Zahlen die ganz oben in der Aufgabe definiert wurden. Das hab ich verwechselt.

Vielen dank für die Aufklärung!

---

Ah und ich glaube ich habe auch die 2 Aufgabe verstanden:

2: Bestimmen Sie den Funktionsausdruck für f 1 ◦ f 2 .

f₁ o f₂ = f₁(f₂(x))

Da f₂ an zweiter Stelle steht wird die Funktion ja zuerst ausgeführt oder?

Also sozusagen f₁ in f₂ einsetzen: f₁ = 3x-1 ; f₂ = x² - 6x + 10

= (3x-1)² - 6(3x-1) +10

= 9x² - 6x + 1 - 18x + 6 + 10

= 9x² - 24x + 17

f1 o f2 = f1(f2(x)) = 9x² - 24x + 17

Ist das so richtig?

---

Verstehe... Das heißt, dass der Wertebereich von f₂ eine Teilmenge oder gleich der Definitionsmenge von f₁ sein muss oder?

Wenn das zuträfe, dürfte man dann den Funktionsausdruck so berechnen wie in meinem oberen Kommentar?

Und vielen dank nochmal für die Erklärung!

---

Ja, ich denke, du hast das verstanden.

Wenn die Hintereinanderauführung definiert wäre, könntest du die Funktion $f_1\circ f_2$ wie folgt zusammenbauen:$$f1\circ f_2(x)=3\underbrace{(x^2-6x+10)}_{=f_2(x)}-1=3x^2-18x+29$$Du hast die andere Reihenfolge gebaut:$$f_2\circ f_1(x)=(\underbrace{3x-1}_{=f_1(x)})^2-6(\underbrace{3x-1}_{=f_1(x)})+10$$Die rechts stehende Funktion wirkt als erste auf das $x$.

---

Ich hab mich dabei an diesem Skript-Teil orientiert:

Wir betrachten die beiden Funktionen

$\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto 2 x+1 \\ g: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto x^{2} \end{aligned}$

Dann erhalten wir als Verkettung der beiden Funktionen:

$\begin{aligned} g \circ f: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto(2 x+1)^{2} \end{aligned}$

Die Verkettung in der anderen Reihenfolge ergibt:

$\begin{aligned} f \circ g: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto 2 x^{2}+1 \end{aligned}$

Wird da nicht f in g eingesetzt?

Deswegen dachte ich müsste auch f2 in f1 eingesetzt werden

---

Ah nein... Ich hab schon wieder das vertauscht... Vielen dank für den Hinweis. Das muss ich echt noch üben ^^

Vielen dank für die ausführliche Erklärung!