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Linear unabhängige Erzeugendensysteme:

Seien \( n \in \mathbb{N}_{\geq 2}, K \) ein Körper und \( U:=\left\{\left(u_{i}\right)_{i \in\{1, ..., n\}} | \sum \limits_{i=1}^{n} u_{i}=0_{K}\right\} . \) Es gilt \( U \leq K^{n} \) (ohne Beweis). Geben Sie mit kleinschrittigem Beweis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von \( U \) an.

Kann mir jemand bitte hier helfen und es einmal vormachen fürs Verständnis?

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Avatar von 289 k 🚀

Ja, vielen Dank, jedoch hat mir das nicht so wirklich was gesagt. Ich kann es erst immer nachvollziehen wenn ich etwas Text dazu geschrieben bekomme und nicht nur Anweisungen. Also könntest du mir bitte sagen was man genau da machen soll oder deine Schritte die du unter der anderen Frage geschrieben hast hier etwas ausführlicher erklären? Vielen Dank :)

Wähle in U die  n-1 Vektoren (für k = 1 bis n-1 )

 $$\vec{v_{k}} = (v_{k,1},v_{k,2},....,v_{k,n} ), $$

die alle so aussehen:

\(v_{k,k}=1  \text{  und    }v_{k,n}=-1  \)  und sonst alles 0en.

Sei nun  $$\vec{u} = (u_{1},u_{2},....,u_{n} ) \in U $$

also \(\sum \limits_{i=1}^{n}u_{i}= 0 \)

Dann gilt ja auch \(u_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n-1}-u_{i} \)

Dann ist u jedenfalls darstellbar durch die  \(\vec{v_{k}} \) in der Form

$$\vec{u}=\sum \limits_{i=1}^{n-1}u_{i}*\vec{v_{i}}$$

Außerdem sind die  die  n-1 Vektoren (für k = 1 bis n-1 ) \(\vec{v_{k}}\)

linear unabhhängig; denn der Ansatz

$$\vec{0}=\sum \limits_{i=1}^{n-1}a_{i}*\vec{v_{i}}$$

liefert ja für die ersten n-1 Komponenten sofort ai=0 und

das bei der letzten eingesetzt ergibt auch in der letzten die 0.

Ich danke dir vielmals!!!

Noch eine Frage. Was meinst du mit deinem letzten Satz "das bei der letzten eingesetzt ergibt auch in der letzten die 0"? Also in was eingesetzt? Was ist mit "der letzten" gemeint?


:)

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