Wähle in U die n-1 Vektoren (für k = 1 bis n-1 )
$$\vec{v_{k}} = (v_{k,1},v_{k,2},....,v_{k,n} ), $$
die alle so aussehen:
\(v_{k,k}=1 \text{ und }v_{k,n}=-1 \) und sonst alles 0en.
Sei nun $$\vec{u} = (u_{1},u_{2},....,u_{n} ) \in U $$
also \(\sum \limits_{i=1}^{n}u_{i}= 0 \)
Dann gilt ja auch \(u_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n-1}-u_{i} \)
Dann ist u jedenfalls darstellbar durch die \(\vec{v_{k}} \) in der Form
$$\vec{u}=\sum \limits_{i=1}^{n-1}u_{i}*\vec{v_{i}}$$
Außerdem sind die die n-1 Vektoren (für k = 1 bis n-1 ) \(\vec{v_{k}}\)
linear unabhhängig; denn der Ansatz
$$\vec{0}=\sum \limits_{i=1}^{n-1}a_{i}*\vec{v_{i}}$$
liefert ja für die ersten n-1 Komponenten sofort ai=0 und
das bei der letzten eingesetzt ergibt auch in der letzten die 0.
