Aloha :)
Die Funktionsgleichung hast du völlig richtig bestimmt: \(f(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}(x^2-9)\)
Wegen der Symmetrie brauchst du nur eine Seite zu betrachten, etwa rechts neben der y-Achse. Die Fläche des halben Dreiecks ist:$$F_{1/2}(x)=\frac{1}{2}xy=-\frac{1}{4}(x^3-9x)$$Die Ableitung nach \(x\) gibt uns die Kandidaten für ein Extermum:$$0\stackrel{!}{=}F_{1/2}'(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-9)=-\frac{3}{4}(x^2-9)\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt3$$Wegen \(f(\pm\sqrt3)=3\) lauten die gesuchten Punkte:$$P(-\sqrt3|3)\quad;\quad Q(+\sqrt3|3)$$Die Fläche des gesamten Dreiecks ist$$F=2\cdot F_{1/2}=2\cdot\frac{1}{2}xy=xy=3\sqrt3$$Kriegst du die Winkel alleine hin? Falls nicht, frag bitte nochmal nach.
Ergänzung: Winkel
Betrachte wieder nur das halbe Dreieck rechts von der y-Achse. Es ist ein rechtwinkiges Dreieck. Von diesem kennen wir die beiden Katheten, nämlich die x-Koordinate \(\sqrt3\) und die y-Koordinate \(3\). Der Winkel bei Punkt \(P\) aus deiner Skizze ist daher:$$\tan\angle(P)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{y}{x}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$$$$\Rightarrow\quad\angle(P)=\arctan(\sqrt3)=60^o$$Wegen der Symmetrie sind alle anderen Winkel nun klar. Es ist ein gleichseitiges Dreieck, alle Winkel sind \(60^o\) groß.
