Ausklammern und Substitution: f(x)= -x^5+6x^3-9x faktorisieren und Nullstellen bestimmen.

Question

Kann mir einer erklären wie das mit der substitution funkioniert?

also:

f(x)= -x^5+6x^3-9x

      =x(-x^4+6x^2-9)

Bitte schrittweise vorrechnen und erklären danke sehr :)

Comments

Du meinst vermutlich

f(x)= -x⁵+6x³-9x

      =x(-x⁴+6x²-9)

Oder?

Suchst du die Nullstellen der Funktion oder was soll berechnet werden?

Musst du vielleicht faktorisieren?

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Ja (bei allem) :)

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auf dieser seite https://www.mathelounge.de/71735/achsenschnittpunkte-linearfaktordarstellung-verhalten#a71740 findest du unten im kommentar eine vorgerechnete aufgabe zum thema substitution. versuche das mal nachzuvollziehen und auf deine aufgabe zu übertragen.

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f(x) = -x^5+6x^3-9x

Wie finde ich bei dieser Funktion die Nullstellen heraus? Kann ich die Funktion Sublimieren oder Ausklammern? Ich bedanke mich schonmal bei der Antwort, ihr würdet damit echt mein leben retten :D

Answer 1

f(x)= -x⁵+6x³-9x

      =x(-x⁴+6x²-9)

= -x(x^4 -6x^2 + 9)

x1 = 0

(x^4 -6x^2 + 9)   | z = x^2

= z^2 - 6z + 9 | 2. Binom erkennen

= (z-3)^2            | z= x^2

= (x^2 - 3)^2   | 3. Binom

= ((x-√3)(x+√3))^2

Insgesamt

f(x) = -x * (x-√3)^2 (x+√3)^2 

Nullstellen x1 = 0, x2=√3, x3 = - √3

Answer 2

  Ziel : die Nullstellen finden.

  f ( x )= -x⁵ + 6x³ - 9x  l da x in jedem Summanden vorkommt kann es ausgeklammert werden
  f ( x ) = x * ( -x⁴ + 6x² - 9 )  l ein Produkt ist dann null wenn mindestens 1 Faktor null ist

  => x = 0

  Oder

  -x⁴ + 6x² - 9 = 0

  -x⁴ + 6x² - 9 = (-1) * ( x⁴ - 6x² + 9 ) l (-1) ausgeklammert
  l ersetzen ( substituieren ) a = x^2
  a^2 -6a + 3^2  l hier erkennt der Fachmann die 2.binomische Formel
  ( a - 3)^2
  ( a - 3)^2 = 0  l daraus
  a - 3 = 0
  a = 3  l zurückersetzen ( rücksubstituieren )
  a = x^2 = 3
  x^2 = 3
  x = + √ 3
  x = - √ 3

  f ( x )= -x⁵ + 6x³ - 9x 
  f ( x )= x * ( x⁴ + 6x² - 9 )
  f ( x )= x * ( x² + 3 ) * (  x^2 - 3 )

  Nullstellen
  x = 0 
  x = + √ 3
  x = - √ 3

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  mfg Georg

Comments

Vielen, vielen Dank so ist das dann ja eig ganz einfach :)

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( a - 3)² = 0 
  a - 3 = 0

warum muss da nicht

a^2-3^2 =0 hin??

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  ( a - 3)² = 0   l auf beiden Seiten die Wurzel ziehen
  √ ( a - 3)² = √ 0  l auf der linken Seite heben sich Wurzel und Quadrat auf

   ( a - 3 ) = 0
   a - 3  = 0

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  mfg Georg

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Ich musste dann noch zurückrechnen mit a = x^2 auf

x^2 - 3 = 0.

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@Lu,

  habe ich in meiner Antwort ( anschauen ! ) auch so gemacht. mfg Georg

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ah ok,

ich hab bei der nechsten aufgabe anscheinend etwas falsch gemacht, wäre nett wenn dus dir kurz angucken könntest

f(x)=x^4-5x^2+4         /x^2=a

      =a^2-5a+4

a1,2 = -(-5)/2  +- Wurzel (-5/2)^2-4 Wurzel ende   ( pq formel :D )

       =2,5 +- 1,5

a1= 4      a2=1

x1=16 ; x2 = 1

aber es sollte  x1= +1  ;x2= -1   ;x3= +2   ; x4= -2 sein

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  bis hierhin

  a1= 4      a2=1 stimmt deine Berechnung.

  a = x^2 daraus folgt

  x = √ a

  x = √ 4 = plus/minus 2
  x = √ 1 = plus/minus 1

  War also ein kleiner Gedankendreher von dir.

  mfg Georg

Answer 3

1. Kannst du -x ausklammern. → x1 = 0 ist die erste Nullstelle.

2. Kannst du in der Klammer z= x^2 substituieren.

3. Rücksubst. nicht vergessen.

Comments

Wie substituiert man x^3 bzw. x^5 ?

weil wenn ich x² bzw. x⁴ substituiere ist mir klar was rauskommt.. bei x³ sind ich und meine freunde uns aber sehr unsicher..

Trotzdem danke für die Antwort :)

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Schau mal im Duplikat. von 2013: Rubrik "ähnliche Fragen" unten.

Answer 4

x ausklammern

-x(x⁴ -6x²+9) = 0          erste Nullstelle ist x= 0

in der Klammer steckt ein Binom

x⁴ -6x²+9= (x²-3)  ²

(x²-3)²  =0   dann gilt  für die nächsten Nullstellen

x= √  3    und x= - √3