Nullstellen der Fkt. x^3 - 9x^2 -27x = 0. Muss ich Ausklammern?

Question

ich habe ein Problem bei folgender Gleichung:

$$ { x }^{ 3 }-9{ x }^{ 2 }-27x\quad =\quad 0 $$

Ich muss die Nullstellen bestimmen. Und habe deswegen auch schon folgende Verfahren angewendet:

Polynomdivision

Substitationsverfahren

Bei der Polynomdivision bleibt ein Rest über. Das hatten wir noch nicht. Bei dem Substitutionsverfahren geht das nicht auf wenn ich z.b. folgendes mache:

$$ { x }^{ 3 }-9{ x }^{ 2 }-27x\quad =\quad 0\quad |\quad z\quad =\quad { x }^{ 2 }\\ { z }^{ 1,5 }-9z-27{ z }^{ 0,5 }\quad ... $$

Naja ich muss hier nicht weiter machen. Man sieht, dass es nicht klappt, da nur Gerade Exponenten rauskommen müssen.

Letzte Methode wäre ausklammern, sodass nur gerade Exponenten in der Klammer sind.

Doch wie?

Bin da bisschen hinterher..

Liebe Grüße

Answer 1

besser x aus klammern.

dann hast du x=0 oder Klammer = 0

und letzteres gibt eine quadr. Gleich.

Answer 2

x^3 - 9 * x^2  - 27 * x = 0

leider bist du einen falschen Weg gegangen was sich
aber schnell korrigieren läßt.

x^3 - 9 * x^2  - 27 * x = 0  | x ausklammern
x * ( x^2 - 9 * x - 27 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
x = 0
und
x^2 - 9 * x - 27 = 0  | lösbar mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung

Answer 3

Bei x^3 - 9x^2 -27x = 0 solltest du zuerst ein x ausklammern: 

x · (x^2 - 9x -27) = 0

Lösung:

Erste Nullstelle via Satz vom Nullprodukt: x_(3) = 0

Und für x_(1,2) die p-q-Formel anwenden:

Gleichung liegt bereits in Normalform vor:

1·x² + (-9)·x + (-27) = 0

p = -9 und q = -27

Lösung mit p-q-Formel:

x_1,2 = -(^p⁄₂) ± √((^p⁄₂)² - q)

x_1,2 = -(^-9⁄₂) ± √((^-9⁄₂)² - (-27))

x_1,2 = 4,5 ± √47,25

Lösungen gerundet:

x₁ = 4,5 + 6,87386 = 11,37386

x₂ = 4,5 - 6,87386 = -2,37386

https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung?a=1&b=-9&c=-27&d=0

Zeichne die Graphen und du siehst die Nullstellen als Lösung:

~plot~ x^3 - 9x^2 -27x;x;x^2 - 9x -27;[[-5|15|-50|50]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die Mühe!!

---

Gerne, das geht ja mit den Programmen ganz schnell ;)
Lg Kai