Wie finde ich die Nullstellen von der Funktion x^5-20x^3+64x mit ausklammern und substituieren?

Question

In der Aufgabe muss ich durch ausklammern und substituieren die nullstellen berechnen.Aber ich scheitere im an der Stelle wo ich erkenne das es eine binomische Formel ist.

Es wäre sehr nett,wenn mir einer hilf und es mir erklärt

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Comments

Als Unterstützung: https://www.matheretter.de/rechner/gfplot/?a5=1&a3=-20&a1=64

Answer 1

\(x^4-20x^2+64=0\)

Nullstellenberechnung ohne Substitution:

\(x^4-20x^2+(\frac{20}{2})^2=-64+(\frac{20}{2})^2\)

\(x^4-20x^2+10^2=36\)

\((x^2-10)^2=36\)

1.)

\(x^2-10=6\)

\(x_1=4\)

\(x_2=-4\)

2.)

\(x^2-10=-6\)

\(x_3=2\)

\(x_4=-2\)

Answer 2

hier liegt doch gar keine binomische Formel vor ;).

Ausklammern ist der erste Schritt:

x^5-20x+64 = 0  

x(x^4-20x^2+64) = 0

x₁ = 0 und (x^4-20x^2+64) = 0

Für letztere wähle z = x^2

z^2-20z+64 = 0   |pq-Formel:

z₁ = 4

z₂ = 16

Nun noch Resubst.

x₁ = 0

x_2,3 = ±2

x_4,5 = ±4

Grüße

Answer 3

x^5 - 20·x^3 + 64·x = 0

x·(x^4 - 20·x^2 + 64) --> x = 0

x^4 - 20·x^2 + 64 = 0

z^2 - 20·z + 64 = 0 --> pq-formel

z = 4 --> x = ± 2

z = 16 --> x ± 4

Answer 4

Aber ich scheitere immer an der Stelle, wo ich erkenne, dass es eine binomische Formel ist.

Nutzt man außer dem naheliegenden Ausklammern auch aus, dass \(64 = 100-36\) ist, wird man von binomischen Formeln geradezu verfolgt: $$x^5-20x^3+64x = \\ x\cdot\left(\left(x^2\right)^2-2\cdot10\cdot x^2 + 10^2 - 6^2\right) = \\ x\cdot\left(\left(x^2-10\right)^2-6^2\right) = \\ x\cdot\left(x^2-16\right)\cdot\left(x^2-4\right) = \\ x\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x-4\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right).$$