Gleichung Ausklammern , ablesen , substituieren

Question

Aufgabe:

Lösen sie die Gleichung. Wählen sie dabei aus den Verfahren des Ablesens, Ausklammerns, und Substituierens geeignete aus.

Problem/Ansatz:

a) x^5-20x³+64x = 0

b) ( x - 2/3)(x^4-13/6x²+1) =0

Comments

Ich wähle Klammersetzung für b.

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bei a) würde ich zunächst x ausklammern (⇒ eine Nullstelle bei x = 0) und x^2 im restlichen Term durch z ersetzen (Substitution)

b) Eine Nullstelle kann man aus der 1. Klammer ablesen, in der 2. Klammer kannst du x^2 durch z ersetzen

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Also b) ( x -\( \frac{2}{3} \) ) (x⁴-\( \frac{13}{6} \) x² + 1) =0

Also wenn ich die kleinere Klammer wieder in die Größere rein Multipliziere bekomme ich diese Gleichung.

0 = - \( \frac{2}{3} \)x⁵ + \( \frac{13}{9} \) x³ + \( \frac{2}{3} \) x

Ich klammer wieder nur die x aus !! Dann bekommst du diese Gleichung.

0 = x ( - \( \frac{2}{3} \)x⁴ + \( \frac{13}{9} \) x² + \( \frac{2}{3} \))

      ↑_{→ → →} Das hier ist wieder deine erste Nullstelle. Also x₁ = 0

Du rechnest mit dieser Gleichung weiter:

0 = - \( \frac{2}{3} \)x⁴ + \( \frac{13}{9} \) x² + \( \frac{2}{3} \)

Jetzt wendest du weider die Substitution an:

x⁴ = z²

x² = z

Und du bekommst diese Gleichung

0 = - \( \frac{2}{3} \)z² + \( \frac{13}{9} \) z + \( \frac{2}{3} \)

Da wir die p-q- Formel anwenden möchten muss vor der z² eine 1 stehen.

0 = - \( \frac{2}{3} \)z² + \( \frac{13}{9} \) z + \( \frac{2}{3} \)      Ι  : (- \( \frac{2}{3} \))

0 = z² - \( \frac{13}{6} \) z - 1       ←   Diese Gleichung setzt du wieder in die p-q-Formel ein.

z_1/2/3/4 = \( \frac{13}{12} \) ± \( \sqrt{(-\frac{13}{12})²-(-1)} \)

z_1/2/3/4 =  \( \frac{13}{12} \) ± \( \sqrt{\frac{169}{144}+1} \)

z_1/2/3/4 = \( \frac{13}{12} \) ± \( \sqrt{\frac{313}{144}} \)

z_1/2 = 2.55

z_3/4 = - 0,390

Resubstitution: z² = x = ±\( \sqrt{2.55} \)    x₂ = 1,6  ;  x₃ = -1,6

Answer 1

Hallo

a) x ausklammern, danach x^2=z

b) nur für die Klammer x^2=z aus der ersten x=2/3 für x!=2/3 durch die erst () dividieren

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$0=x^5-20x^3+64x=x(x^4-20x^2+64)=x(x^2-4)(x^2-16)$$$$\phantom{0}=x(x-2)(x+2)(x-4)(x+4)$$
$$0=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x^4-\frac{13}{6}x^2+1\right)=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x^4-\frac{13}{6}x^2+\left(\frac{13}{12}\right)^2-\left(\frac{13}{12}\right)^2+1\right)$$$$\phantom{0}=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(\left(x^2-\frac{13}{12}\right)^2-\frac{169}{144}+1\right)=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(\underbrace{\left(x^2-\frac{13}{12}\right)^2}_{=:a^2}-\underbrace{\frac{25}{144}}_{=:b^2}\right)$$$$\phantom{0}=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(\underbrace{\left(x^2-\frac{13}{12}\right)}_{=a}+\underbrace{\frac{5}{12}}_{=b}\right)\left(\underbrace{\left(x^2-\frac{13}{12}\right)}_{=a}-\underbrace{\frac{5}{12}}_{=b}\right)$$$$\phantom{0}=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x^2-\frac{8}{12}\right)\left(x^2-\frac{18}{12}\right)=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x^2-\frac{2}{3}\right)\left(x^2-\frac{3}{2}\right)$$$$\phantom{0}=\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\left(x-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$$

Answer 3

a) x ⁵ - 20 x³ + 64x = 0     Ich schreibe die Gleichung mal um, und bekomme das hier

0 = x⁵ - 20 x³ + 64 x

Hier kannst du als erstes eine x Ausklammern!!  Dann bekommst du diese Gleichung

0 = x( x⁴ - 20x² + 64)

      ↓_→→→→  x = 0   Dann bekommst du die Erste Nullstelle. Deine erste Nullstelle ist x = 0

Du rechnest mit dieser Gleichung weiter :

0 = x⁴ -20 x² + 64         (←Hier hast du ja eine x schon ausgeklammert,deshalb hast du bei der Gleichung eine x weniger)

und wendest wieder die Substitution an.

x⁴ = z ²

x² = z           Dann bekommst du diese Gleichung

0 = z² - 20z + 64         ←  Und diese Gleichung setzt du wieder in die p-q-Formel ( x_1/2 = - \( \frac{p}{2} \) ± \( \sqrt{(\frac{p}{2})² -q} \) )

Und du bekommsst diese Gleichung:

z_1/2/3/4 = -(\(- \frac{20}{2} \) ) ± \( \sqrt{(-\frac{20}{2})² -64} \) )

z_1/2/3/4 = 10 ± \( \sqrt{100 - 64} \)

z_1/2/3/4 = 10 ± \( \sqrt{36} \)

z_1/2/3/4 = 10 ± 6

z_1/2 = 16                           

z_3/4 = 4

Ressubstitution

z_1/2 = 16          Ι     \( \sqrt{  } \)           x₁ = 4           x₂ = -4

z_3/4 = 4            Ι    \( \sqrt{  } \)          x₃ = 2            x₄ = -2