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Gerade gegeben:


g: -4x + 2y = 10

und meine Parametergleichung lautet g: vektor von x = (0,5) + s(2,4) ist das korrekt?

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Aloha :)

Stelle die Gleichung nach \(y\) um:$$y=5+2x$$Damit ist dann die Parametergleichung:$$g:\;\vec x=\binom{x}{y}=\binom{x}{5+2x}=\binom{0}{5}+\binom{x}{2x}=\binom{0}{5}+x\binom{1}{2}$$Das ist mit deiner Lösung äquivalent. Du hast lediglich einen doppelt so großen Richtungsvektor, was aber kein Problem ist, da der Parameter ja alle Werte \(\in\mathbb{R}\) annehmen kann.

Avatar von 152 k 🚀

Ich habe aber ein Problem: Ich soll die Lagebeziehung der Geraden g und h untersuchen. Deswegen habe ich meine Parametergleichung g von oben mit h gleichgesetzt:

(0,5) + s (2,4) = (1,5) + r(5,10)

I  2s = 1 + 5r

II 5 + 4s= 5 +10r

aber ich kann das LGS nicht lösen! es kommen falsche werte hilfe

Achso, von einer zweiten Geraden \(h\) war in deiner Frage keine Rede. Aber schauen wir mal:$$g:\;\vec x=\binom{0}{5}+s\binom{2}{4}\quad;\quad h:\;\vec x=\binom{1}{5}+r\binom{5}{10}$$Wenn du dir mal die beiden Richtungsvektoren anschaust, die zeigen in dieselbe Richtung, sind nur unterschiedlich lang:$$g:\;\vec x=\binom{0}{5}+2s\binom{1}{2}\quad;\quad h:\;\vec x=\binom{1}{5}+5r\binom{1}{2}$$Die Geraden sind also parallel. Da die beiden Aufpunkte \(\binom{0}{5}\) und \(\binom{1}{5}\) um eine Einheit auf der \(x\)-Achse verschoben sind, laufen beide Graden parallel zueinander, um eine Einheit in \(x\)-Richtung auseinander. Daher kannst du das Gleichungssystem nicht lösen, die beiden Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Die Richtungsvektoren sind ja (2,4) und (5,10) - ich dachte, da man das vielfache nicht bilden kann, und die richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist es auch nicht parallel? wie bildet man denn da das vielfache?

Die Richtungsvektoen sind doch kollinear:$$\binom{5}{10}=2,5\cdot\binom{2}{4}$$

Müssen es nicht immer ganze Zahlen als Vielfache sein? :O

Nein, es kann jede Zahl aus \(\mathbb{R}\) sein, außer der Null.

Du bist mein Retter, tschakabuma <3

Gibt es einen Trick zu sehen, ob meine Parameterform richtig ist?

Deine Parameterform ist richtig.

Du kannst das leicht prüfen.

1) Wähle einen Punkt aus der Parameterform, am besten mit Parameter \(s=0\) oder \(s=1\), damit man wenig rechnen muss.

2) Prüfe, ob das \(x\) und das \(y\) die Gleichung der Koordinatenform erfüllen.

3) Wenn das für 2 Punkte richtig ist, beschreiben beide Darstellungen dieselbe Grade.

Dazu ein Beispiel:

Parameterform: \(g:\;\vec x=\binom{0}{5}+s\binom{2}{4}\)

Koordinatenform: \(g:\,-4x+2y=10\).

Wähle den Punkt \(\binom{0}{5}\), also \(x=0\) und \(y=5\).

Einsetzen in die Koordinatenform: \(-4\cdot0+2\cdot5=10\quad\checkmark\)

Wähle den Punkt \(\binom{2}{9}\), also \(x=2\) und \(y=9\).

Einsetzen in die Koordinatenform: \(-4\cdot2+2\cdot9=10\quad\checkmark\)

Die Koordinatenform und die Parameterform stimmen für 2 Punkte überein, damit beschreiben sie dieselbe Grade.

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