Parametergleichung korrekt?

Question

Gerade gegeben:

g: -4x + 2y = 10

und meine Parametergleichung lautet g: vektor von x = (0,5) + s(2,4) ist das korrekt?

Answer 1

Aloha :)

Stelle die Gleichung nach \(y\) um:$$y=5+2x$$Damit ist dann die Parametergleichung:$$g:\;\vec x=\binom{x}{y}=\binom{x}{5+2x}=\binom{0}{5}+\binom{x}{2x}=\binom{0}{5}+x\binom{1}{2}$$Das ist mit deiner Lösung äquivalent. Du hast lediglich einen doppelt so großen Richtungsvektor, was aber kein Problem ist, da der Parameter ja alle Werte \(\in\mathbb{R}\) annehmen kann.

Comments

Ich habe aber ein Problem: Ich soll die Lagebeziehung der Geraden g und h untersuchen. Deswegen habe ich meine Parametergleichung g von oben mit h gleichgesetzt:

(0,5) + s (2,4) = (1,5) + r(5,10)

I  2s = 1 + 5r

II 5 + 4s= 5 +10r

aber ich kann das LGS nicht lösen! es kommen falsche werte hilfe

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Achso, von einer zweiten Geraden \(h\) war in deiner Frage keine Rede. Aber schauen wir mal:$$g:\;\vec x=\binom{0}{5}+s\binom{2}{4}\quad;\quad h:\;\vec x=\binom{1}{5}+r\binom{5}{10}$$Wenn du dir mal die beiden Richtungsvektoren anschaust, die zeigen in dieselbe Richtung, sind nur unterschiedlich lang:$$g:\;\vec x=\binom{0}{5}+2s\binom{1}{2}\quad;\quad h:\;\vec x=\binom{1}{5}+5r\binom{1}{2}$$Die Geraden sind also parallel. Da die beiden Aufpunkte \(\binom{0}{5}\) und \(\binom{1}{5}\) um eine Einheit auf der \(x\)-Achse verschoben sind, laufen beide Graden parallel zueinander, um eine Einheit in \(x\)-Richtung auseinander. Daher kannst du das Gleichungssystem nicht lösen, die beiden Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

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Die Richtungsvektoren sind ja (2,4) und (5,10) - ich dachte, da man das vielfache nicht bilden kann, und die richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist es auch nicht parallel? wie bildet man denn da das vielfache?

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Die Richtungsvektoen sind doch kollinear:$$\binom{5}{10}=2,5\cdot\binom{2}{4}$$

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Müssen es nicht immer ganze Zahlen als Vielfache sein? :O

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Nein, es kann jede Zahl aus \(\mathbb{R}\) sein, außer der Null.

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Du bist mein Retter, tschakabuma <3

Gibt es einen Trick zu sehen, ob meine Parameterform richtig ist?

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Deine Parameterform ist richtig.

Du kannst das leicht prüfen.

1) Wähle einen Punkt aus der Parameterform, am besten mit Parameter \(s=0\) oder \(s=1\), damit man wenig rechnen muss.

2) Prüfe, ob das \(x\) und das \(y\) die Gleichung der Koordinatenform erfüllen.

3) Wenn das für 2 Punkte richtig ist, beschreiben beide Darstellungen dieselbe Grade.

Dazu ein Beispiel:

Parameterform: \(g:\;\vec x=\binom{0}{5}+s\binom{2}{4}\)

Koordinatenform: \(g:\,-4x+2y=10\).

Wähle den Punkt \(\binom{0}{5}\), also \(x=0\) und \(y=5\).

Einsetzen in die Koordinatenform: \(-4\cdot0+2\cdot5=10\quad\checkmark\)

Wähle den Punkt \(\binom{2}{9}\), also \(x=2\) und \(y=9\).

Einsetzen in die Koordinatenform: \(-4\cdot2+2\cdot9=10\quad\checkmark\)

Die Koordinatenform und die Parameterform stimmen für 2 Punkte überein, damit beschreiben sie dieselbe Grade.