Question

Sei G eine Gruppe bezüglich der Operation ∗. Zeigen Sie: auch
bezüglich der Operation g ⊗ h := h ∗ g ist G eine Gruppe.

ich hoffe das es euch noch gut geht. Könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe vielleicht helfen?

Lg Gustavo

Comments

Wo steckst du fest? Die Gruppenaxiome sind dir bekannt?

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Hi, bei mir fängt es quasi schon dort an, dass ich nicht weiß, was das Symbol auf der linken Gleichheitsseite zu bedeuten hat. wir haben leider erst eine Vl zu diesem Thema gehabt, da kam dieses Zeichen aber nicht vor.

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Eine Gruppe hat immer eine Verknüpfung. Diese wird hier mit \( \ast \) bezeichnet. \( a\ast b\) liest sich also "a verknüpft mit b".

Nun wird eine neue Verknüpfung \( \otimes\) eingeführt:

\( a \otimes b \) per Definition gleich (":=") \( a \ast b \).

D.h. a verknüpft  (bzgl. Neuer Verknüpfung) mit b entspricht gerade b verknüpft  (bzgl. Alter Verknüpfung) mit a.

Und jetzt musst du eben nachrechnen, dass die Menge G mit der neuen Verknüpfung auch eine Gruppe bildet. Assoziativität, Existenz neutrales Element, Existenz inverser Elemente.

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Okay, Danke. Also für Addition und Multiplikation?

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Was für eine Addition und Multiplikation?

Nenn mir mal bitte die Bedingung, wann man \( \otimes \) assoziativ nennt.

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Für alle a,b,c ∈ R gilt

A*(B*C)=(A*B)*C

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Für alle a,b,c ∈ R gilt
A*(B*C)=(A*B)*C

Falsch. Das hat doch schon ganz offensichtlich überhaupt nichts mit \( \otimes \) zu tun, da \( \otimes \) in der Gleichung überhaupt nicht vorkommt.

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Dann

(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)?

Answer 1

Zu zeigen ist unter anderem, dass $$ g \otimes h $$ assoziativ ist.
Wir wissen, dass $$ (a * b) * c = a * (b * c).  (I) $$
Zu zeigen ist, dass $$ (d \otimes e) \otimes f = d \otimes (e \otimes f).  (II) $$

$$ \Leftrightarrow (e * d) \otimes f = d \otimes (f * e) $$
$$ \Leftrightarrow f * (e * d) = (f * e) * d $$
Dies gilt wegen (I).

Wie geht’s weiter?  Was ist noch zu zeigen?

Comments

naja, die Existenz des neutralen und inversen Elements.

Könntest du mir noch bitte zeigen, wie man das macht?

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Hallo Gustavo, vielen Dank für beste Antwort.  Gerne zeige ich dir, wie man das neutrale und inverse Element findet.  Wie ich deinen Fragen entnehme, ist dir noch nicht ganz klar, was eine Gruppe ist.  Das ist die Basis, ohne die man diese Aufgabe nicht lösen kann.  Und deine andere Aufgabe https://www.mathelounge.de/719651/ist-g-mit-der-operation-eine-gruppe auch nicht, die ebenfalls noch offen ist.  Daher meine Frage:  Was ist eine Gruppe?

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Ein Paar (G, ∗) mit einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung
∗: G x G → G, (a,b) ↦ a ∗ b  heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
 Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a und b gilt: (a ∗ b) ∈ G
 Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
 Neutrales Element: Es gibt ein neutrales Element e ∈ G, mit dem für alle Gruppenelemente a gilt:
a ∗ e = e ∗ a = a.  
 Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement a existiert ein Element a‐1 ∈ G mit a∗a−1 = a−1
∗a = e.

So haben wir es in der Vorlesung definiert.

Ich tue mir halt echt immer schwer mit so =ausdrücken wie oben, und was ich da genau machen muss. Muss ich die Addition anwenden, muss ich die Multiplikation anwenden, oder was ist zu machen.

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Hallo Gustavo, deine Definition von Gruppe ist goldrichtig.  Außer „inverses Element“.  Hier gilt:  Zu jedem a gibt es ein a^(-1), so dass a * a^(-1) = n und a^(-1) * a = n.  Ist die Menge der ganzen Zahlen ab 1 bis unendlich und das „+“ als Verknüpfung eine Gruppe?  Bitte prüfe alle Regeln.