Funktion auf Stetigkeit überprüfen

Question

Aufgabe:

Folgende Funktion auf Stetigkeit überprüfen:

\( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{4}(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{4}-3 x+\frac{1}{3} & , \text { für } x<0 \\ \frac{1}{3} & , \text { für } x=0 \\ \sqrt{\frac{2-2 \cos (x)}{9 x^{2}}} & , \text { für } x>0\end{array}\right. \)

Comments

Würdest du denn sagen, dass die Funktion auf den Intervallen (-∞,0) und (0,∞) stetig ist?

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Ich weiss ganz sicher, dass die Funktion stetig ist nur für R \ {0}.

Für x=0 habe ich dass der Linksseitige Grenzwert 1/3 ist und bei dem Rechtsseitigen bin ich mir leider nicht sicher.. Hab da Wurzel 2 / 6 raus.

Nur da bin ich mir nicht sicher..

Bräuchte Hilfe vielen Dank im voraus ❤️

Answer 1

Dann bleibt nur noch der rechtsseitige Grenzwert:

$$ \lim_{x\downarrow 0} f_4(x) = \lim_{x\downarrow 0} \sqrt{\frac{2-2 \cos (x)}{9 x^{2}}} = \sqrt{\lim_{x\downarrow 0} \frac{2-2 \cos (x)}{9 x^{2}}} $$

Die Wurzel ist stetig auf [0,∞), also kann man den Limes reinziehen. Jetzt bekommst du da im Grenzwert etwas von der Form 0/0 -> l'Hospital(?)

$$ \lim_{x\downarrow 0} \frac{2-2 \cos (x)}{9 x^{2}} = \lim_{x\downarrow 0} \frac{2 \sin (x)}{18 x} = \lim_{x\downarrow 0} \frac{2 \cos (x)}{18} = \frac{1}{9}$$

Daraus die Wurzel -> 1/3

Comments

Dankeschön ich habs verstanden