Lineare Unabhängigkeit beweisen LGS

Question

Ich habe Probleme dabei zu zeigen, dass es bei den LGS die man aufstellt nur eine einzige Lösung gibt. Kann mir jemand helfen und es vormachen? (0,0,0) sind ja Lösungen aber wie zeige ich denn dass es mehrere Lösungen gibt?

Aufgabe:

Hausaufgabe 2.3 Lineare Unabhängigkeit

Wir geben im Folgenden jeweils \( K \), einen \( K \) -Vektorraum \( V \) und ein Tupel von Vektoren a an. 

Beweisen oder widerlegen Sie (wie üblich mit genauen, kleinschrittigen Begründungen), in a in \( V \) linear unabhängig ist.

 

\( (a) K=\mathbb{R}, V=\mathbb{R}^{3}, a=\left(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\ -3 \\ 1\end{array}\right)\right) \)

(b) \( K=\mathbb{Z}_{5}, V=\mathbb{Z}_{5}^{3}, a=\left(\left(\begin{array}{c}{[1]} \\ {[2]} \\ {[3]}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{[2]} \\ [3] \\ {[4]}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{[1]} \\ {[3]} \\ {[0]}\end{array}\right)\right) \)

(c) \( K=\mathbb{R}, V=\mathrm{C}[X], a=(1, i, X, 1+i X) \)

(d) K = ℝ, \( V=K^{K}, a=(f, g, h) \) mit \( f, g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1+x, g(x)=\sin (\pi \cdot x) \)

\( h(x)=2^{x} \)

Answer 1

Die Vektoren sind linear abhängig, wenn die aus ihnen gebildete Determinante Null ist.

Answer 2

Hallo

 du musst doch eigentlich kein GS lösen, sondern die Matrix mit den 3 Vektoren  auf Dreiecksform bringen, wenn dann mindestens eine Nullzeile entsteht, sind die Vektoren Lin. abhängig, wenn in der letzten Zeile etwas stehen bleibt  z.B . a hieße das ja , a*letzte unbekannte =0 also  Unbekannte 0 und dann entsprechend die anderen 0 aus den nächsten Zeilen.

ist dagegen die letze Zeile 0 steht da ja 0*z=0 z kann jeden beliebigen Wert annehmen, also oo viele Lösungen.

(das hat aber nicht direkt mit Lin. Unabhängigkeit zu tun, denn es sagt nur x*v1+y*v2+z*v3=0 es gibt mindestens einen Koeffizienten ungleich 0, also Lin. abhängig.)

oo viele Lösungen gibt es immer. wenn man in der homogenen GS eine Nullzeile hat nach dem man auf Diagonalform gebracht hat.

Aber was die Frage mit den Aufgaben zu tun hat verstehe ich nicht.