Lineare Unabhängigkeit Sei V ein beliebiger Vektorraum und sei M ⊆ V . Beweisen sie.....

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!

Aufgabe:

Sei V ein beliebiger Vektorraum und sei M ⊆ V .
1. Gilt folgende Aussage? Beweisen oder widerlegen Sie!
M ist linear unabhängig ⇔ M′
linear unabhängig für alle M′ ⊂ M.
2. Sei M linear unabhängig und M1, M2 ⊆ M mit M1 ∩ M2 = ∅. Dann gilt: ⟨M1⟩ ∩ ⟨M2⟩ = {⃗0}

Das wäre mein Ansatz:

Mein Problem:
Ich weiß nicht, ob es ausreichen würde bei dieser Aufgabe, es nur in Worte zu fassen und es so zu erklären.

1)
Die Aussage “M ist linear unabhängig ⇔ M′ ist linear unabhängig für alle M′ ⊂ M” ist korrekt.
Wenn eine Menge von Vektoren M linear unabhängig ist, dann sind alle Teilmengen M′ von M ebenfalls linear unabhängig. Dies liegt daran, dass keine Kombination von Vektoren in M′ zu einem Nullvektor führen kann, ohne dass alle Koeffizienten null sind, da dies bereits für die größere Menge M gilt.

2)
Die Aussage “Sei M linear unabhängig und M1, M2 ⊆ M mit M1 ∩ M2 = ∅. Dann gilt: ⟨M1⟩ ∩ ⟨M2⟩ = {⃗0}” ist ebenfalls korrekt. Wenn M1 und M2 disjunkte Teilmengen eines linear unabhängigen M sind, dann ist der einzige Vektor, der sowohl in ⟨M1⟩ als auch in ⟨M2⟩ liegt, der Nullvektor. Dies liegt daran, dass kein Vektor in ⟨M1⟩ als Linearkombination von Vektoren in ⟨M2⟩ (und umgekehrt) dargestellt werden kann, da M1 und M2 keine gemeinsamen Vektoren haben.

Answer 1

Zu Punkt 2: Est ist wichtig, dass \(M\) linear unabhängig ist. Dass \(M_1,M_2\) keine Vektoren gemeinsam haben, reicht nicht. Es könnte ja schließlich \(M_1=\{e_1,e_2\},M_2=\{(1,1)\}\), das sind als Mengen verschiedene Vektoren, die aufgespannten Räume besitzen allerdings einen Schnitt von Dimension \(1\).

Präziser wäre: Wenn \(x\in \langle M_1\rangle \cap \langle M_2 \rangle\), dann gibt es zwei Summendarstellungen:

\(x=\sum\limits_{i} c_i b_i=\sum\limits_{j} c'_jb'_j\), wobei ersteres Basisvektoren in \(M_1\) und zweiteres Basisvektoren \(M_2\). Umstellung ergibt: \(0=\sum\limits_{i}c_ib_i-\sum\limits_{j}c'_jb'_j\), was eine Summendarstellung aus linear unabhängigen Vektoren in \(M\) ist. Folglich sind alle \(c_i,c'_j = 0\) und also \(x=0\).