Zu Punkt 2: Est ist wichtig, dass M linear unabhängig ist. Dass M1,M2 keine Vektoren gemeinsam haben, reicht nicht. Es könnte ja schließlich M1={e1,e2},M2={(1,1)}, das sind als Mengen verschiedene Vektoren, die aufgespannten Räume besitzen allerdings einen Schnitt von Dimension 1.
Präziser wäre: Wenn x∈⟨M1⟩∩⟨M2⟩, dann gibt es zwei Summendarstellungen:
x=i∑cibi=j∑cj′bj′, wobei ersteres Basisvektoren in M1 und zweiteres Basisvektoren M2. Umstellung ergibt: 0=i∑cibi−j∑cj′bj′, was eine Summendarstellung aus linear unabhängigen Vektoren in M ist. Folglich sind alle ci,cj′=0 und also x=0.