Finden Sie eine explizite Formel für die rekursiv definierte Folge

Question

Hi zusammen,

ich komme nicht dahinter was genau von mir hier verlangt wird? Und wie gehe ich vor?

Finden Sie eine explizite Formel für die rekursiv definierte Folge (a_n) mit

a₀= 3,  a_n=n·a_n-1+ 3·a_n-1.

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Bist du sicher, dass rechts zwei Mal \(a_{n-1}\) steht?

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ja. deswegen verwirrt mich das. habe ähnliche Aufgaben da, aber diese kommen mir viel leichter vor.

Answer 1

ich komme nicht dahinter was genau von mir hier verlangt wird?

Google den Begriff "explizite Bildungsvorschrift".

Und wie gehe ich vor?

Ich weiß nicht, wie du vorgehst.

Ich würde beginnen, die ersten fünf, sechs oder sieben Folgenglieder konkret auszurechnen und nach Gesetzmäßigkeiten zu suchen.

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ich komme nicht auf die nächsten Folgeglieder. Ich hab jetzt komischerweise a_-1 und a_-2 ausgerechnet, aber ich befürchte das ist nicht der Sinn der Sache. :-[

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Ich hab jetzt komischerweise a-1 und a-2

Das will ich sehen.

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Aaaaalso, nach sehr lange Überlegungen habe ich für a₁ bis a₃ folgende Werte raus:

a₀ = 3

a₁ = 9

a₂ = 36

a₃ = 180

Folgende Gesetzmäßigkeit sehe ich: a₁ = 3*3; a₂ = 3*3*4; a₃ = 3*3*4*5 u.s.w. nehme ich an. Nun komme ich nicht auf die Explizite Formel. Ich sehe die Gesetzmäßigkeit, dass es irgendwie immer ein Faktor im Produkt dazukommt. Helft mir bitte auf die Sprünge, wenn ich überhaupt die a's richtig habe. Danke euch !

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Nein, a1 ist 12 und a2 ist 60...

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wie? was echt ? ich versteh's nicht! :-[

a0 ist doch 3. und wenn a_n-1 = (a_n)/(n+3) dann müssen doch meine Zahlen stimmen, oder was übersehe ich da?

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Wieso willst du VORHERGEHENDE Folgenglieder berechnen?

Du musst a_n aus dem vorherigen Glied a_n-1 berechnen.

Und da gilt a_n = (n+3) *a_n-1.

Also: a₁=(1+3)*a₀ = 4*3 = 12

a₂=(2+3)*a₁ = 5*12 = 60.

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aaahhhh okay danke ! Die Formel hatte ich sogar ganz am Anfang raus, nur habe ich gedacht, dass es noch nicht die richtige ist -.- oh mann

Danke vielmals!

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was ich trotzdem nciht verstehe ist, dass die formel doch in der Aufgabenstellung schon stand. Was soll man dann noch rausfinden ? Ich meine man hat im Prinzip nur das a_n-1 ausgeklammert. Ist das schon der ganze Aufwand ?

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okay jetzt habe ich es wirklich: ich muss es ja in eine explizite Formel schreiben.

Sprich herausgekommen bei mir ist: a_n = ((3+n)!)/2

Danke an ALLE !

Answer 2

Hallo,

nach Deinen Angaben lautet die Rekursionsformel$$a_n = n \cdot a_{n-1} + 3 \cdot a_{a_n-1} = (n+3) \cdot a_{n-1}$$Da jedes Element immer mit dem \(n\) bzw. \(n+3\)-Fachen multipliziert wird, steckt da sicher die Fakultät drin. Nun ist aber \((0+3)!=6\) und \(a_0=3\). Also muss man wahrscheinlich noch durch \(2\) dividieren.

Versuche es daher mal mit$$a_n = \frac 12 \cdot (n+3)!$$

Comments

ich glaube ich hab es endlich hinbekommen:

habe folgendes raus: a_n = (a_n+1)/(n+3) damit komme ich auf meine ganzen ausgerechneten Werte.

Sorry, ich weiß leider nicht wie ihr so hübsch hier die Formeln hinschreibt. :-[

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Danke dir ! Es war sogar richtig, was du vorgeschlagen hast, nur war ich zu dumm dahin zu kommen ! xD