Klausuraufgabe zu Äquivalenzrelation

Question

Ich sitze gerade an einer Klausuraufgabe, wo ich zeigen soll, dass für eine Äquivalenzrelation R und für a,b ∈ S gilt:

[a] = [b] ⇔ (a,b) ∈ R.

R ist dabei eine Äquivalenzrelation über S.

Könnte mir jemand dabei helfen?

Comments

Welche Bedeutung haben die eckigen Klammern?

Answer 1

Nach Def. gilt ja wohl

[a]={x∈S | (a,x)  ∈ R }  #

( oder (x,a) ∈ R., aber da Äquivalenzrelationen symmetrisch sind,

bedeutet das ja beides das Gleiche.)

Seien als a,b ∈ S mit [a] = [b]

Wegen der Reflexivität von R gilt jedenfalls

a ∈ [a] und b∈ [b] . Weil beide Klassen gleich sind also

auch b ∈ [a] . Wegen # ist also das b so ein x mit (a,x)  ∈ R ,

also  (a,b)  ∈ R ,

Andere Richtung: Seien  a,b ∈ S mit  (a,b)  ∈ R ,

Wegen der Symmetrie von R also auch  (b,a)  ∈ R ,

Wegen # somit  a ∈ [b] und b∈ [a].

Zum Nachweis der Gleichheit muss man ja zeigen:

Für alle x ∈ [b] gilt  x∈ [a]   und

für alle x ∈ [a] gilt  x∈ [b]   .

Das erste wohl so: Sei  x ∈ [b] , also (b,x) ∈ R

Wegen # gilt  b∈ [a] also (a,b) ∈ R

Wegen der Transitivität von R also (a,x) ∈ R,

also x ∈ [a].

In der Art bekommst du auch den 2. Teil hin !