Ist der Satz vom Vieta kompliziert?

Question

Hi.

Ich habe gestern gefragt wie man diese Aufgabe löst:

3x² + 6x = 9

Ohne PQ-Formel sollte es gemacht werden.


Mir wurde dann geschrieben das es so mit dem Satz von Vieta geht:

3x²+6x-9= 0

Faktorisieren ist hier ein Lösungsweg, mit dem Satz von Vieta, dann erhält man:

3(x²+2x-3) =0

3*( x+3)*(x-1) = 0

x=-3    und bei x=1

Es muss ja immer 0 rauskommen aber ich weiß irgendwie nicht wie man auf die Schritte kommt

Der letzte Schritt ist mir bewusst, weil der ist ja dann einfach mit -3 + 3 das dort 0 rauskommt und mit 1-1

Aber bis dahin muss ich ja mit 3x² +6x = 9 erstmal kommen


Wir haben den Satz des Vieta noch nicht behandelt, aber wenn er nicht schwer ist krieg ich das

ja vielleicht jetzt hin

Ich hatte die Aufgabe ganz am Anfang mit Ausklammern so gerechnet: x * (3x + 6) = 9 weil ich dachte das ist egal ob da nun eine 0 oder 9 steht am Ende, deshalb war sie dann falsch.

Ich hoffe mir kann das jemand erklären, aber bitte nicht nur zahlen hinschreiben, ich würde es gerne verstehen.

Answer 1

Du bringst den ganzen Kram auf die Normalform.

3x² + 6x = 9
3x² + 6x - 9 = 0
x² + 2x - 3 = 0

Nun besagt der Satz von Vieta das

(x + a)·(x + b) = x^2 + (a + b)·x + a·b

Also 
a + b = 2
a·b = -3

Das Produkt muss -3 sein. Da würde von ganzen Zahlen nur 1 * (-3) oder -1 * 3 passen. Bei letzterem ist dann die Summe auch 2. Also gilt

x² + 2x - 3 = (x - 1)·(x + 3)

Daher sind die Nullstellen bei 1 und -3

Du kannst das aber auch einfach über pq-Formel oder quadratische Ergänzung machen.

x² + 2x - 3 = 0

x² + 2x + 1 - 1 - 3 = 0
(x + 1)^2 - 4 = 0
(x + 1)^2 = 4
x + 1 = ± 2
x = - 1 ± 2

x1 = -3; x2 = 1

Du siehst man bekommt auch hier die Lösung recht schnell heraus.