Wie stellt man diese Wachstums-oder Zerfallsfunktion auf?

Question

Stellen Sie eine Wachstums oder Zerfallsfunktion der Form f(x)=c*a^x

a) Die Bevölkerungsanzahl eines Landes wächst jährlich um 2 %. Zu Beginn der Beobachtung beträgt sie 25 Millionen. Zusatz: Wie viele Einwohner hat das Land nach zehn Jahren?

b)Das Element Tritium (^3H) ist instabil. Pro Jahr zerfallen 5,5 % der vorhandenen Substanz. Zu Beginn sind 100 mg vorhanden. Zusatz: nach welcher Zeit ist nur noch die Hälfte der Substanz übrig?

c)Ein Sparkonto mit einem Anlage Betrag von 1000 € wird mit einem jährlichen Zinssatz von 3 % verzinst. Zusatz: wie hoch ist der Zinsgewinn für das fünfte Anlage Jahr?

Answer 1

siehe Mathe-Formelbuch,Exponentialfunktion f(x)=a^(x)

kommt in der Form vor N(t)=No*a^(t)  mit No=Anfangswert zum Zeitpunkt t=0

N(0)=No*a⁰=No*1=No

hier bei t=0 No=c=25 Millionen

N(1)=No+No/100%*2%=No*(1+0,02)

a=1+0,02=1,02

also f(x)=25 Millionen*1,02^(x)

f(10)=25*1,02^1⁰=30,47 Millionen

b) exponetielle Abnahme  N(1)=No-No/100%*5,5%=No*(1-0,055)

a=1-0,055=0,945

f(t)=100mg*0,945^(t)   Habwertszeit T → f(T)=No/2

100/2=100*0,945^(T))

1/2=0,945^(T) logarithmiert

ln(1/2)=ln(0,945^T)=T*ln(0,945) siehe Logarithmengesetz log(a^x)=x*log(a)

T=ln(0,5)/ln(0,945)=12,25..Jahre

Hinweis:Kannst auch den Logarithmus mit der Basis 10 nehmen

T=log(0,5)/log(0,945)=12,25 Jahre

c) exponentielle Wachstum

a=1+p/100%=1+3%/100%=1+0,03=1,03

f(t)=1000 Euro*1,03^(t)=1000*1,03^5=1159,27..Euro

f(4)=1000*1,03^4=1125,508..Euro

1159,27 Euro-1125,51 Euro=33,76 Euro

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Text erkannt:

expoin \( y^{2} \)
\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{e^{0}}{e^{0}} \cdot e^{0,0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000} \)
In prozent
as as a a as a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a \( (1-p / 100 x) \)

Answer 2

a) Die Wachstumsfunktion ist f(x)=25·10⁶·1.02^x. f(10)= 25·10⁶·1.02¹⁰.

Comments

wie kommt man auf dieses hoch 6?

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1 Mio=1 000 000 =10⁶.  

Answer 3

c)Ein Sparkonto mit einem Anlage Betrag von 1000 € wird mit einem jährlichen Zinssatz von 3 % verzinst. Zusatz: wie hoch ist der Zinsgewinn für das fünfte Anlage Jahr?

K ( t ) = 1000 * 1.03 ^t
K ( 4 ) = 1000 * 1.03 ^4 = 1125.51

Zinsen für ein weiteres Jahr : 1125.52 * 0.03 = 33.77 €

oder
K ( 5 ) = 1000 * 1.03 ^5 = 1159.27 €
Zuwachs durch Zinsen :
1159.27 minus 1125.51 = 33.76 €