Zeige zuerst, dass die Verknüpfung ○ wohldefiniert auf M ist (Abgeschlossenheit).

Question

Es sei die Menge M = R\{−1} gegeben und die Verknüpfung ○∶

a○b := a+ b+ ab

a) Zeige zuerst, dass die Verknüpfung ○ wohldefiniert auf M ist (Abgeschlossenheit). Damit ist gemeint, dass gilt:

∀a,b ∈ M : a ○ b ∈ M

b) Zeigen Sie, dass (M,○) eine Gruppe ist. Ist die Gruppe abelsch?

ich verstehe das nicht ansatzweise :(

Ich suche schon seit 2 Tagen nach ansätzen aber mit keinem glück :(

Ich würde mich über hilfe sehr freuen!

Comments

Hallo,

zunächst zur ersten Frage: Aufgrund der Definition ist klar, dass \(a \circ b\) wieder eine reelle Zahl ist. Zu zeige bleibt, dass dies ungleich -1 ist.

Du musst also überprüfen, ob es irgendwelche reellen Zahlen a,b gibt, wobei \( a \neq -1, b\neq -1\) ist, so dass diese Gleichung erfüllt ist:

$$a+b+ab=-1$$

Wenn Du diese Gleichung ein wenig umformst, ausklammerst .. wirst Du sehen, dass das nicht geht.

Gruß

Answer 1

Abgeschlossenheit:

Seien a, b ∈ ℝ, a, b ≠ -1. zz. ist a + b + ab ≠ -1 (dass da was reelles rauskommt ist klar). Angenommen a+b+ab=-1, dann gilt $$ a+b+ab=a+(1+a)b = -1 \implies -1-a=(1+a)b $$ da \( a \neq -1 \) können wir durch \( 1 + a \neq 0 \) teilen und erhalten \( b = -1 \). Widerspruch.

Abelsche Gruppe:

Assoziativ: \( a \circ (b \circ c) = a \circ (b+c+bc) = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) \stackrel{?}{=} (a+b+ab) + c + (a+b+ab)c = (a+b+ab) \circ c = (a\circ b)\circ c \)

Kommutativ: \( a \circ b = a+b+ab \stackrel{?}{=} b+a+ba = b \circ a \)

Neutrales Element: Suche eine reelle Zahl \( e\neq-1\), s.d. \( a \circ e = a + e + ae = a \) für alle \( a\neq-1\)

Inverses Element: Finde zu jedem \( a\neq -1 \) ein \( b \neq -1 \) s.d. \( a \circ b = a + b + ab = e \)