Zeigen Sie ,dass mit der Komposition◦ von Abbildungen eine Verknüpfung auf der Menge T ={Ta:a∈R} gegeben ist.

Question

Aufgabe:

Seien F = {f : R → R} und Ta : F → F mit Ta(f)(x) = f(x − a) für a ∈ R
(a) Zeigen Sie ,dass mit der Komposition◦ von Abbildungen eine Verknüpfung auf der Menge T ={Ta:a∈R} gegeben ist.
(b) Zeigen Sie, dass T mit der Komposition ◦ von Abbildungen eine Gruppe bildet.
(c) Entscheiden Sie, ob die Gruppe kommutativ ist. Begründen Sie kurz.

Kann mir jemand weiterhelfen. Komme leider gar nicht zurecht mit der Aufgabe.

Answer 1

Hallo,

die Abbildung \(T_a\) bildet eine Funktion f auf eine Funktion \(T_af\) ab, deren Graph einfach um a nach rechts (für positives a) verschoben ist.

a) Die Frage ist hier ob mit \(T_a \in T\) und \(T_b \in T\) auch die Komposition in T liegt. Das triff zu; denn nach Definition der Komposition ist \((T_b \circ T_a)f=T_b(T_af)\)

Jetzt ist

$$\forall x \in \mathbb{R}: \quad T_af(x)=f(x-a) \text{  daher }T_b(T_af)(x)=f(x-a-b)$$

$$ \text{  Also: } T_b \circ T_a=T_{a+b} \in T$$

Mit dieser Darstellung sind alle weiteren Fragen beantwortet, wei \(\mathbb{R}\) mit der Addition eine abelsche Gruppe bildet.