Aloha :)
Wenn du dir das Vektorfeld genau ansiehst, erfüllt es die Integrabilitätbedingungen:
$$\vec F=\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\vec\nabla\times F=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-1\\1-1\\1-1\end{array}\right)=\vec 0$$Das heißt, der Wert des Integrals ist unabhängig vom Weg \(\gamma\), der vom Start- zum Endpunkt gewählt wird. Daher schlage ich vor, eine Abkürzung \(c(t)\) zu nehmen:
$$\gamma(0)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)\quad;\quad\gamma(1)=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right)\quad;\quad \vec c(t):=\left(\begin{array}{c}1\\1-2t\\t\end{array}\right)\;\;;\;\;t\in[0|1]$$Der vorgeschlagene Weg \(c(t)\) verbindet Start- und Endpunkt, ist aber einfacher zu berechnen:
$$E=\int\limits_{\gamma(0)}^{\gamma(1)}\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\,d\gamma=\int\limits_{c(0)}^{c(1)}\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\,d\vec c=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}y+z\\z+x\\x+y\end{array}\right)\,\frac{d\vec c}{dt}\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}(1-2t)+t\\t+1\\1+(1-2t)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\-2\\1\end{array}\right)\,dt=\int\limits_0^1\left(-2t-2+2-2t\right)dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1(-4t)dt=\left[-2t^2\right]_0^1=-2$$
