Abstand zwischen Ebene und Fläche, Punkte am nächsten gegenüber

Question

Gegeben ist die Ebene E: \( \frac{x}{24} \) + \( \frac{y}{12} \) + \( \frac{z}{2} \) = 1
und die Fläche F: z = f(x,y) = xy - x²  - y² .

1.Bestimmen Sie den Abstand zwischen Ebene und Fläche.
2. Welche beiden Punkte auf Ebene und Fläche liegen sich am nächsten gegenüber? Habe

Könnte mir bitte jemand eine ausführliche Hilfestellung hierbei geben?
Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Das geht wie immer.

Ebene auf Hesseform bringen z=f(x,y) einsetzen = Funktion für den Abstand d(x,y)

Gradient bestimmen =0 für Extrema.

Ein gerechnetes Beispiel unter

https://www.geogebra.org/classic/bZHJPmmZ

Comments

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bis zum punkt 5 in dem verlinkten beispiel konnte ich es nachvollziehen allerdings verstehe ich dann nicht wie man d_min berechnet bzw. was man dafür genau einsetzt. ausserdem ist mir nicht klar was "$4" sein soll bei der y- koordinate für d_min.
könnten sie mir dabei behilflich sein und ggf nochmal ein grobes gesamtschema in worte fassen, da das thema noch sehr neu für mich ist, ich nur sätze und definitonen als unterlagen habe und eben nicht "wie immer" daran gehen kann :)
vielen dank im voraus

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Das $ ist ein Bezug auf die entsprechende Zeile - also Zeile 4. d(x,y) erhält die Werte x,y (aus zeile 4) die aus dem Gradienten stammen. Substitute/Ersetze. Wenn in d(x,y) die berechneten x,y eingesetzt werden erhält man den Abstand d_min .

Die Koordinaten aus zeile 4 $4 werden dann in einem Punkt der Fläche (x,y,z=f(x,y)) eingesetzt Pf, der Punkt der der Ebene am nächsten ist.

Der kürzeste Abstand d einer Fläche z=f(x,y) zu Ebene E. Setze z=f(x,y) in die Hesse-NormalForm der Ebene E ein und suche das Minimum der dabei erhaltenen Abstandsfunktion d(x,y)..

Nun, Extrema ermittelt man doch über die 1. Ableitung=0 Steigung =0) im mehrdimensionalen Fall durch den Gradienten, die partiellen Ableitungen. Streng genommen müsste man noch die Hessematrix berechnen.

https://www.geogebra.org/m/bu3QjrBQ

Hier ist das Verfahren kurz beschrieben.

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habe mich jetzt analog zu einer aufgabe von 2017, die quasi identisch ist zu dieser und in der sie auch kommentiert haben, entlanggehangelt und komme auf
d_min = - 1,9502271
nächstgelegener Punkt der Fläche: \( \begin{pmatrix} 1/9\\5/36\\-7/432 \end{pmatrix} \)
nächstgelegener Punkt der Ebene: \( \begin{pmatrix} 1453/5364\\2459/5364\\1,901022247 \end{pmatrix} \)

Habe es irgendwie in erinnerung, dass der abstand nicht negativ sein kann und dementsprechend auch der rest falsch ist, oder hab ich da was falsch in erinnerung ?
Wenn sie zeit und lust haben berichtigen sie mich ausgiebig :)

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Hm,

die Ergebnisse Deiner Aufgabe kannst Du ja mit denen im Bild oben abgleichen. Das sieht aber richtig aus!

der Abstand kann durchaus negativ sein, wenn entgegen der Ausrichtung des Normalenvektors gemessen wird. Wenn der Normalenvektor eine z-Komponente hat, kann die „nach oben“ oder „nach unten“ weisen. Je nach dem auf welcher Seite der zu messende Punkt liegt kommt das als +/- im Abstand an. In manchen Abstandsformeln wird das aber nicht berücksichtigt und der Abstand immer positiv gemacht.