Aloha :)
Die Funktion \(f\) soll eine Fläche beschreiben, hat also nur 2 unabhängige Variablen \(x\) und \(y\). Daher muss es richtig heißten: \(z=f=f(x,y)\). Um die \(z\)-Koordinate brauchst du dich nicht zu kümmern, sie ist sozusagen in dem Funktionsterm "codiert".$$\text{grad}f(x,y)=\left(\begin{array}{c}4x^3-6x+y\\x-2y\\0\end{array}\right)$$Du kannst dich nur in \(x\)- oder in \(y\)-Richtung bewegen. Deine \(z\)-Koordinate kannst du nicht beeinflussen, weil sie ja durch die Funktion festgelegt wird. Der Gradient zeigt in die Richtung (die du gehen kannst), in der die Funktion \(f(x,y)\) am stärksten ansteigt. Da du dich in \(z\)-Richtung nicht frei bewegen kannst, ist die \(z\)-Komponente des Gradienten Null.
1) Wir benötigen den Wert des Gradienten am Punkt \(P(-1|-2|-4)\). Du kannst gerne nachrechnen, dass \(f(-1,-2)=-4\) ist, also die \(z\)-Koordinate automatisch erfüllt ist. Wir setzen den Punkt \((x,y)=(-1|-2)\) in den Gradienten ein:$$\text{grad}f(-1,-2)=\left(\begin{array}{c}0\\3\\0\end{array}\right)$$Die Richtungsableitung in der angegeben Richtung erhalten wir durch Multiplikation des Gradienten mit dem normierten(!) Richtungsvektor:
$$\partial_{\vec v}(f)=\left(\begin{array}{c}0\\3\\0\end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{(-6)^2+2^2+3^2}}\left(\begin{array}{c}-6\\2\\3\end{array}\right)=\frac{6}{\sqrt{49}}=\frac{6}{7}$$
2) Der Gradient zeigt bereits in die Richtung des stärksten Anstiegs, er ist die maximale Richtungsableitung. Am der Stelle \((-2|1)\) hat er den Wert:$$\text{grad}f(-2,1)=\left(\begin{array}{c}5\\-4\\0\end{array}\right)$$
