Integral rechnen mit Lösungsweg

Question

Könnte mir jemand helfen, wie man diesen Integral rechnen kann? Danke

Comments

Vermutlich existiert das Integral nicht.

Answer 1

Aloha :)

Die zu integrierende Funktion ist ungerade:$$f(-x)=\frac{(-x)+\sin(-x)}{1+(-x)^2}=\frac{-x-\sin(x)}{1+x^2}=-\frac{x+\sin(x)}{1+x^2}=-f(x)$$Daher ist$$I=\int\limits_\mathbb{R}f(x)dx=\int\limits_{-\infty}^0f(x)dx+\int\limits_0^\infty f(x)dx=\int\limits_{\infty}^0f(-x)d(-x)+\int\limits_0^\infty f(x)dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{\infty}^0(-f(x))(-dx)+\int\limits_0^\infty f(x)dx=\int\limits_{\infty}^0f(x)dx+\int\limits_0^\infty f(x)dx$$$$\phantom{I}=-\int\limits_0^{\infty}f(x)dx+\int\limits_0^\infty f(x)dx=0$$

Comments

Vielen Dank für die Mühe

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Existieren die uneigentlichen Integrale?

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Für \(c\ge0\) ist nach meinen Berechnungen$$\int_0^c\frac{x+\sin x}{1+x^2}\,\mathrm dx\ge\int_0^c\frac{\tfrac12x}{1+x^2}\,\mathrm dx=\tfrac14\log(1+c^2).$$Scheint so, als würdest du sowas wie \(„\infty-\infty=0”\) rechnen, was man besser lassen sollte.

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Ich habe die Existenz der Integrale nicht geprüft, sondern auf die Aufgabenstellung vertraut. Die Integration über ganz \(\mathbb{R}\) bedeutet ja von \(]-\infty|+\infty[\). Wenn die Grenzwerte nicht existieren sollten, ist der Aufgabensteller zu verfluchen ;)