Zeigen, dass A und B unabhängig sind

Question

A und B seien Ereignisse mit 0<P(B)<1.

A und B sind genau dann unabhängig, wenn gilt:

$$ P(A|B) = P(A| \overline{B}) $$

Wie kann ich zeigen, dass A und B unabhängig sind, wenn dies gilt?

Comments

Für zukünftige Leser:$$P(A|B)=P(A|\overline{B}) \Leftrightarrow \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}  \Leftrightarrow P(\overline{B})P(A\cap B)=P(A\cap \overline{B})P(B)$$ Nun beachte man, dass \(A=(A\cap \overline{B})\cup(A\cap B)\). Da die beiden Mengen disjunkt sind, ist $$P(A)=P(A\cap \overline{B})+P(A\cap B) \Leftrightarrow P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B).$$ Und nun oben mit der Gleichung weiter:$$\Leftrightarrow (1-P(B))P(A\cap B)=(P(A)-P(A\cap B))P(B) \\ \Leftrightarrow P(A\cap B)-P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B)-P(B)P(A\cap B) \\ \Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

Anschaulich ist klar, warum das Unabhängigkeit bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A wird von dem Bestehen oder Nicht-Bestehen von B nicht affiziert.

Answer 1

Wenn dies gilt sind A und B unabhängig. Damit ist es dann bereits gezeigt.

Um die Unabhängigkeit zu zeigen hast du zwei Bedingungen

P(B | A) = P(B | nicht A) = P(B)

oder

P(A und B) = P(A) * P(B)

Es langt dann eine Bedingung nachzuweisen.

Comments

Ich dachte ich muss zwei Richtungen zeigen. Einmal die Richtung, dass A und B unabhängig sind und dann darauf schließen, dass dies gilt. Und ich muss zeigen, dass aus der Forderung geschlussfolgert werden kann, dass A und B unabhängig sind.

---

Wie lautet genau deine Aufgabe. Oben ist nur eine Definition angegeben.

---

Ich muss zeigen, dass A und B unabhängig genau dann unabhängig sind, wenn

$$ P(A|B) = P(A|\overline {B}) gilt. $$

---

Interessant

Wie ist denn eure definition die ihr verwenden dürft um das zu zeigen.

Eigentlich kennt ich es so das die Unabhängigkeit wie folgt definiert ist

P(B | A) = P(B | nicht A) = P(B)

Also die Wahrscheinlichkeit das B eintritt ist unabhängig von A also gleich egal ob A eintritt oder nicht. Und das ist dann gleich der Wahrscheinlichkeit das B eintritt.

P(B) = P(A) * P(B | A) + P(nicht A) * P(B | nicht A)

Nun soll gelten P(B | A) = P(B | nicht A)

P(B) = P(A) * P(B | A) + P(nicht A) * P(B | A)

P(B) = (P(A) + P(nicht A)) * P(B | A)

P(B) = 1 * P(B | A)

P(B) = P(B | A)

also gilt

P(B | A) = P(B | nicht A) = P(B)

---

Danke für deine ausführliche Antwort.

Wir haben folgende Definition:

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} $$