Geschlossene Form einer Funktion

Question

Aufgabe:

REKURRENZEN

1. Es sei die Funktion \( T_{1}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \) mit

$$ T_{1}(0)=0, \quad T_{1}(1)=-1, \quad T_{1}(n)=T(n-2)+2 \cdot(-1)^{n} $$

gegeben. Bestimmen Sie die geschlossene Form der Funktion und beweisen Sie diese mittels vollständiger Induktion.

Hinweis: Als geschlossene Form gelten auch Funktionen mit Fallunterscheidungen.

Kann mir jemand bitte helfen und mir sagen wie man eine geschlossene Form einer Funktion ermittelt und es einmal bitte vormachen?

Comments

Für die geraden Zahlen kommt genau der selbe Wert raus und für die ungeraden Zahlen kommt der gleiche Wert nur negativ raus. Vielen Dank für den Tipp.

Wie bestimme ich jetzt die geschlossene Form?

Answer 1

Aloha :)

Gegeben: \(T(n)=T(n-2)+2\cdot(-1)^n\quad;\quad T(0)=1\;\;;\;\;T(1)=-1\)

Behauptung: \(\underline{T(n)=(-1)^n\cdot n}\) für \(n\in\mathbb{N_0}\)

Die Behauptung ist klar für \(n=0\) und \(n=1\). Daher fangen wir die Induktion bei \(n=2\) an.

Verankerung bei \(n=2\):$$T(n)=T(2)=T(0)+2=0+2=2=(-1)^2\cdot2=(-1)^n\cdot n\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$T(n+1)=T(n-1)+2\cdot(-1)^{n+1}\stackrel{(I.V.)}{=}(-1)^{n-1}(n-1)+2\cdot(-1)^{n+1}$$$$\phantom{T(n+1)}=(-1)^2\cdot(-1)^{n-1}(n-1)+(-1)^{n+1}\cdot2=(-1)^{n+1}(n-1)+(-1)^{n+1}\cdot2$$$$\phantom{T(n+1)}=(-1)^{n+1}\left[(n-1)+2\right]=(-1)^{n+1}(n+1)\quad\checkmark$$

Comments

Vielen lieben Dank! :)

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wie kommst du auf die Behauptung? :)

Jonny

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Ich habe mir die ersten paar Folgenglieder ausgerechnet:$$T(2)=2\quad;\quad T(3)=-3\quad;\quad T(4)=4\quad;\quad T(5)=-5$$und daraus dann die Behauptung aufgestellt.

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Lieber Tschakabumba,

kannst du uns bitte die Induktion dieser Frage vorrechnen?

https://www.mathelounge.de/845344/induktion-nicht-negative-funktion

Liebe Grüße

Answer 2

Hallo

 in diesem Fall rechne mal die nächsten paar bis T(5) aus, dann siehst du, wie es geht. und hast die allgemeine Formel direkt.

Gruß lul