Funktionenschar/Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{k} \) mit \( f_{k}(t)=0,5 t^{3}-1,5 k t^{2}+6 k t-6 t+50 \quad(k \in R) \)

a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Extrempunkte in Abhängigkeit von \( k \).

b) Zeigen Sie, dass für \( \mathrm{k}<-7 \) der Tiefpunkt des Graphen unterhalb der \( x \)-Achse liegt.

c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen der Funktionschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Graphen von \( f_{k_{1}} \) und \( f_{k_{2}} \) mit \( k_{1}+k_{2} \) eingeschlossen wird.

e) Die Funktionen \( f_{3} \) und \( f_{5} \) geben für \( t \in [0 ; 4] \) näherungsweise die Geschwindigkeit in km/h von zwei Zugvögeln während eines Fluges an (t entspricht der Zeit in Stunden). Entscheiden Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) bis c), welcher Vogel innerhalb dieses Zeitraums im Durchschitt schneller fliegt.

f) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit der beiden Vögel im Intervall \( [0 ; 4] \)

g) Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{0}^{4}\left(f_{5}(t)-f_{3}(t)\right) d t \) und erläutern Sie die Bedeutung im Sachzusammenhang.

Answer 1

Funktionenschar: 0.5·t^3 - 1.5·k·t^2 + 6·k·t - 6·t + 50

Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk(t) = 0.5·t^3 - 1.5·k·t^2 + 6·k·t - 6·t + 50 (k ∈ R).

 fk(t) = 0.5·t^3 - 1.5·k·t^2 + 6·k·t - 6·t + 50

fk'(t) = 1.5·t^2 - 3·k·t + 6·k - 6

fk''(t) = 3·t - 3·k

Fk(t) = 1/8·t^4 - 1/2·k·t^3 + 3·k·t^2 - 3·t^2 + 50·t

a) Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Extrempunkte in Abhängigkeit von k.

fk'(t) = 0

1.5·t^2 - 3·k·t + 6·k - 6 = 0
t = 2 ∨ t = 2·k - 2

fk(2) = 6·k + 42

fk''(2) = 6 - 3·k für k > 2 ein Hochpunkt

fk(2·k - 2) = - 2·k^3 + 12·k^2 - 18·k + 58

fk''(2·k - 2) = 3·k - 6 für k > 2 ein Tiefpunkt

b) Zeigen Sie, dass für k < -7 der Tiefpunkt des Graphen unterhalb der x-Achse liegt.

fk(2) < 0

6·k + 42 < 0

k < -7

c) Zeigen Sie, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

fk1(t) = fk2(t)

0.5·t^3 - 1.5·k1·t^2 + 6·k1·t - 6·t + 50 = 0.5·t^3 - 1.5·k2·t^2 + 6·k2·t - 6·t + 50

- 1.5·k1·t^2 + 6·k1·t = - 1.5·k2·t^2 + 6·k2·t

1.5·k1·t^2 - 1.5·k2·t^2 - 6·k1·t + 6·k2·t = 0

t·(1.5·k1·t - 1.5·k2·t - 6·k1 + 6·k2) = 0

t = 0

1.5·k1·t - 1.5·k2·t - 6·k1 + 6·k2 = 0

(1.5·k1 - 1.5·k2)·t = 6·k1 - 6·k2 

t = 4·(k1 - k2) / (k1 - k2) = 4

fk(0) = 50

fk(4) = 58

d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Graphen von fk1 und fk2 mit k1 ≠ k2 eingeschlossen wird.

Fk(t) = 1/8·t^4 - 1/2·k·t^3 + 3·k·t^2 - 3·t^2 + 50·t

Fk(4) - Fk(0) = 16·k + 184

A = (16·k2 + 184) - (16·k1 + 184) = 16·(k2 - k1)

e) Die Funktionen f3 und f5 geben für t ∈ [0; 4] näherungsweise die Geschwindigkeit in km/h von zwei Zugvögelnwährend eines Fluges an (t entspricht der Zeit in Stunden). Entscheiden Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) bis c), welcher Vogel innerhalb dieses Zeitraums im Durchschnitt schneller fliegt.

Die Funktionen schneiden Sich bei 0 und 4. Damit verläuft innerhalb des Intervalls eine Funktion immer oberhalb der anderen. Das Maximum ist für das größere k größer, d.h. der Vogel zu f5 fliegt im Zeitraum schneller.

f) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit der beiden Vögel im Intervall [0; 4].

∫ (0 bis 4) (f3(t)) dt = 16·3 + 184 = 232

1/4 * 232 = 58 km/h

∫ (0 bis 4) (f5(t)) dt = 16·5 + 184 = 264
1/4 * 264 = 66 km/h

g) Berechnen Sie das Integral ∫ (0 bis 4) (f5(t) - f3(t)) dt und erläutern Sie die Bedeutung im Sachzusammenhang.

264 - 232 = 32 km

Der Vogel mit der Geschwindigkeit f5 fliegt in den 4 Stunden 32 km weiter als der Vogel mit der Geschwindigkeit f3.

Comments

Hallo,

ich habe da mal eine Frage zu Ihrer Lösung. Wie errechnet man bei Teilaufgabe a die Nullstelle? D.h. wie löst man die Gleichung: 1,5t² -3kt+6k-6=0 auf, sodass man als Egebnis t=2 v t=2k-2 bekommt?

Vielen Dank für Ihre Hilfe im Vorfeld!

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Das ist eine quadratische Gleichung.

1.5·t^2 - 3·k·t + 6·k - 6 = 0

Verwende also das, was du am besten kannst:

1. abc-Formel

2. pq-Formel

3. Satz von Vieta

4. quadratische Ergänzung

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Mithilfe der pqFormel schaffe ich es leider nicht alleine. Meine Lösung sieht dann folgendermaßen aus, ist aber falsch:

0=1,5t^2-3kt+6k-6   |:1,5

0=t^2-2kt+4k-4

t=k+/-√(k^2-(4k-4))

Wenn ich so vorgehe, komme ich aber nicht auf das Ergebnis, sondern auf t=2 v t=2k+2

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t = k ± √(k^2 - (4·k - 4))

t = k ± √(k^2 - 4·k + 4)

Jetzt sieht man unter der Wurzel eine binomische Formel.

t = k ± √((k - 2)^2)

t = k ± (k - 2)

t = k - (k - 2) = 2

t = k + (k - 2) = 2·k - 2