Isometrische Abbildung innerhalb der Ebene ist die Identität auf die Ebene?

Question

Aufgabe:

Sei ζ eine Ebene. und X und Y Teilmengen von ζ. 

wobei der Durchschnitt  X ∩ Y die zwei Punkte P_1 und P_2 enthält.

zz: Für eine Isometrie f: ζ → ζ  mit f(X) = Y und f beschränkt auf X∩Y Y = id.

gilt entweder: f ist die Identität auf ζ oder X∩Y = (X∪Y)∩g(P_1,P_2)

Ansatz:

Ich hab mir das ganze so gedacht:

Aus f(X) = Y folgt dass f^-1(Y) = X ist.

Daraus folgt wiederrum dass X = Y ist.

darauss folgt dann direkt die Aussage X∩Y = (X∪Y)∩g(P_1,P_2), weil der Schnitt von X und Y ja laut. Definition nur die beiden Punkte P_1 und P_2 enthält und das is genau das, was das aussagt für X=Y.

Wie zeig ich aber dass f die Indentität auf ζ ist? bzw. ist meine Begründung für den zweiten teil überhaupt korrekt?

mfg & danke sehr

Spiegel

Answer 1

Hallo

 nirgends steht, dass P1,P2 die einzigen Punkte sind die X und Y gemeinsam haben

 wenn die Strecke P1P2 zu X und Y gehört, wird z. B. bei einer Spiegelung an der Geraden durch die   P1 und P2 in X und Y,  du kannst auch an der Mittelsenkrechten zwischen P1 und P2 spiegeln. aber auch dann gehört die Gerade zu X und Y

Gruß lul

Comments

Naja ich hab mir gedacht, wenn in der Angabe steht der  X ∩ Y = { P_1,  P_2} dann haben X und Y nur { P_1,  P_2} gemeinsam. Liege ich damit falsch?

gruß,

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Hallo

 das steht da aber nicht!  sondern der Durchschnitt enthält " und später

 X∩Y = (X∪Y)∩g(P_1,P_2)

und ich denke g(P_1,P_2) ist die Gerade durch P1P2

lul

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Hey da hast du absolut recht.

die Aussage mit der Geraden ist aber in diesem Zusammenhang zu zeigen. Also das unter der Vorausetzung, dass f beschränkt auf X∩Y die identität ist, soll gezeigt werden, dass  X∩Y = (X∪Y)∩g(P_1,P_2) gilt oder f die Identität auf ζ ist