Kugel mit Wandstärke

Question

Eine aus Messing (p=8,55 kg/dm^3)gefertigte Schwimmerkugel von 1 mm Wandstärke hat einen Außendurchmesser von 100 mm .Berechne ihre Masse.

Ich hatte bei der Volumensformel von der Kugel für r =50 mm eingesetzt und auch mit 100 probiert und danach für m= Dichte mal Volumen eingesetzt

Ich versteh nich was da nicht stimmt

Ich weiß nicht was da zu beachten ist wegen der Wandstärke
Ich brauche den Rechenweg weil ich das nicht verstehe

Ich habe das Lösungsbuch und weiß nicht wie man auf 0,263 kg kommt oder 263 gramm

Answer 1

Hallo Florian,

ziehe vom Volumen der ganzen Kugel \(V_k\), das Volumen der inneren Kugel ab:$$\begin{aligned} V_k &= \frac 43 \pi r^3 \\ V_h &= V_k(r) - V_k(r-d) \\ &= \frac 43 \pi \left( r^3 - (r-d)^3\right) \\ &= \frac 43 \pi \left( 3r^2d - 3rd^2 + d^3\right) \\ &= \frac 43 \pi d\left( 3r^2 - 3rd + d^2\right) \\ &= \frac 43 \pi \cdot 0,01 \cdot \left( 3 \cdot 0,5^2 - 3 \cdot 0,5 \cdot 0,01 + 0,01^2\right)\,\text{dm}^3 \\ &\approx 0,0308 \,\text{dm}^3 \\ &\approx 263,3 \text g \end{aligned}$$setze die Maße am besten gleich in \(\text{dm}\) ein: \(r=0,5 \text{dm}\) und \(d = 0,01\text{dm}\).

Comments

Was heist k und h

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Noch eine Bemerkung: Bei dieser dünnen Wandstärke von 1mm kannst Du auch als Radius \(r'=r -d/2\) wählen, die Oberfläche der Kugel berechnen \(O=4\pi r'^2\) und diese mit der Wandstärke \(d=0,01\text{mm}\) multiplizieren.

Das Ergebnis stimmt auf den ersten drei Dezimalstellen mit dem obigen überein.

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Was heist k und h

\(k\) wie Kugel und \(h\) wie Hohlkugel - \(V\) ist das Volumen

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Noch was  wie kommst du von

0,0308 dm^3  auf 263,3 gramm

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Noch was  wie kommst du von 0,0308 dm³  auf 263,3 gramm

$$0,0308 \,\text{dm}^3 \cdot 8,55 \frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} \approx 0,2633 \text{kg} = 263,3 \text g$$