Krümmung einer ebenen Kurve

Question

Berechnen Sie die Krümmung der ebenen Kurven
$$ \vec{c}(s)=\vec{c}(0)+\int \limits_{0}^{s}\left(\begin{array}{c} \cos \left(\sigma(v)+\sigma_{0}\right) \\ \sin \left(\sigma(v)+\sigma_{0}\right) \end{array}\right) d v $$

Ich habe zwar eine Formel für die Berechnung der Krümmung. Jedoch benötige ich hierfür die Ableitung der Kurve. Und leider habe ich überhaupt keine Ahnung, wie ich da in diesem Fall mit einem Integral ran gehen soll.

Answer 1

Aloha :)

Zur Ableitung des Integrals nach \(s\) kannst du die Leibniz-Formel nutzen. Die sieht zunächst kompliziert aus, aber lass sie mal auf dich wirken, dann wird die Idee klar:$$\frac{d}{ds}\int\limits_{a(s)}^{b(s)}f(x,s)dx=\int\limits_{a(s)}^{b(s)}\frac{\partial f(x,s)}{\partial s}dx+f(b,s)\,b'(s)-f(a,s)\,a'(s)$$

In deinem Fall liefert nur der mittlere Summand einen Beitrag:$$\frac{d\vec c}{ds}=\binom{\cos(\sigma(s)+\sigma_0)}{\sin(\sigma(s)+\sigma_0)}$$

Comments

Aber lasse ich das c(0) einfach weg oder was passiert damit?

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Ja genau, \(\vec c(0)\) ist eine Konstante, die beim Ableiten verschwindet.