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Hallo liebe Mathefreunde,


ich habe noch Schwierigkeiten mit dem Lösung eines Anfangswertproblems bestimmen.


Wäre es möglich ein 'How to' Schritt für Schritt zu erstellen?



Liebe Grüße und einen schönen Tag.

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Wie lautet die genaue Aufgabe?

1 Antwort

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Beispiel:Gegeben die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion V(t)=0,5*t+2

gesucht ist die Weg-Zeit-Funktion S(t)=...

S(t)=∫(V(t)*dt

S(t)=∫(0,5*t+2)*dt=0,5*∫t*dt+2*∫dt=0,5/2*t²+2*t+C

S(t)=0,25*t²+2*t+C

Die Integrationkonstante muß über die Anfangsbedingung bestimmt werden.

bei t0  → S(0)=3 

S(0)=3=0,25*0²+2*0+C   → C=3

S(t)=0,25*t²+2*t+3

Bei Differentialgleichung (Dgl) geht das genau so

Beispiel:die freie ungedämpfte Schwingung

Dgl ist y´´+wo²*y=0

allgemeine Lösung  S(t)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t)

Die Koeffizienten müssen über die Anfangsbedingungen ermittelt werden

Bedingung: Zum Zeitpunkt t=0 ist S(0)=0 sein

eingesetzt S(0)=C1*sin(w*0)+C2*cos(w*0)=C1*0+C2*1  → damit S(0)=0 erfüllt wird,muß C2=0 sein

partikuläre Lösung (spezielle Lösung) S(t)=C1*sin(w*t)

Analogie zur Funktion y=f(x)=a*sin(x)  mit x=pi/2 → f(pi/2)=sin(pi/2)=1  Maximum

Funktionswerte bewegen sich zwischen 1 und -1  → a maximale Ausschlag nach "oben" und "unten"


selber Rechenweg mit Bedingung t=0 s(0)=maximal  ergibt

partikuläre Lösung S(t)=C2*cos(w*t)   → S(t)=a*cos(w*t)


Hinweis:Die Anfangsbedingung kann auch sein bei t=0 → Geschwindigkeit V(0)=S´(0)=maximal

dann ableiten V(t)=S´/t)=w*C1*cos(w*t)-w*C2*sin(w*t)

V(0)=w*C1*cos(w*0)-w*C2*sin(w*0)=w*C1*1-w*C2*0

partikuläre Lösung V(t)=w*a*cos(w*t)

Hinweis:Ob die Lösungen richtig sind,wird überprüft,indem man die Lösung und deren Ableitungen in die Dgl einsetzt.

~plot~0,25*x^2+2*x+3;[[0|10|0|50]]~plot~

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