Beispiel:Gegeben die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion V(t)=0,5*t+2
gesucht ist die Weg-Zeit-Funktion S(t)=...
S(t)=∫(V(t)*dt
S(t)=∫(0,5*t+2)*dt=0,5*∫t*dt+2*∫dt=0,5/2*t²+2*t+C
S(t)=0,25*t²+2*t+C
Die Integrationkonstante muß über die Anfangsbedingung bestimmt werden.
bei t0 → S(0)=3
S(0)=3=0,25*0²+2*0+C → C=3
S(t)=0,25*t²+2*t+3
Bei Differentialgleichung (Dgl) geht das genau so
Beispiel:die freie ungedämpfte Schwingung
Dgl ist y´´+wo²*y=0
allgemeine Lösung S(t)=C1*sin(w*t)+C2*cos(w*t)
Die Koeffizienten müssen über die Anfangsbedingungen ermittelt werden
Bedingung: Zum Zeitpunkt t=0 ist S(0)=0 sein
eingesetzt S(0)=C1*sin(w*0)+C2*cos(w*0)=C1*0+C2*1 → damit S(0)=0 erfüllt wird,muß C2=0 sein
partikuläre Lösung (spezielle Lösung) S(t)=C1*sin(w*t)
Analogie zur Funktion y=f(x)=a*sin(x) mit x=pi/2 → f(pi/2)=sin(pi/2)=1 Maximum
Funktionswerte bewegen sich zwischen 1 und -1 → a maximale Ausschlag nach "oben" und "unten"
selber Rechenweg mit Bedingung t=0 s(0)=maximal ergibt
partikuläre Lösung S(t)=C2*cos(w*t) → S(t)=a*cos(w*t)
Hinweis:Die Anfangsbedingung kann auch sein bei t=0 → Geschwindigkeit V(0)=S´(0)=maximal
dann ableiten V(t)=S´/t)=w*C1*cos(w*t)-w*C2*sin(w*t)
V(0)=w*C1*cos(w*0)-w*C2*sin(w*0)=w*C1*1-w*C2*0
partikuläre Lösung V(t)=w*a*cos(w*t)
Hinweis:Ob die Lösungen richtig sind,wird überprüft,indem man die Lösung und deren Ableitungen in die Dgl einsetzt.
~plot~0,25*x^2+2*x+3;[[0|10|0|50]]~plot~
