Du suchst die Ableitung von
$$ f ( x ) = - ( x + 1 ) \cdot 2 ^ { ( x - 1 ) } $$
Dafür definieren wir uns erstmal zwei Funktionen g(x) und h(x) mit der Eigenschaft
f(x) = g(x)*h(x)
denn dann gilt für die Ableitung:
f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)
Hier sind das:
$$ \begin{array} { l } { g ( x ) = - ( x + 1 ) } \\ { \Rightarrow g ^ { \prime } ( x ) = - 1 } \\ { h ( x ) = 2 ^ { x - 1 } } \\ { \Rightarrow h ^ { \prime } ( x ) = \ln ( 2 ) \cdot 2 ^ { x - 1 } } \end{array} $$
Eigentlich wird für h'(x) noch die Kettenregel benutzt, aber x-1 ergibt abgeleitet einfach 1, deswegen gibt es dadurch keine Veränderung.
Für f'(x) gilt also:
$$ \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x ) = - 2 ^ { x - 1 } + ( - ( x + 1 ) ) \cdot \ln ( 2 ) \cdot 2 ^ { x - 1 } } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = 2 ^ { x - 1 } \cdot ( 1 - ( x + 1 ) \cdot \ln ( 2 ) ) } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = 2 ^ { x - 1 } \cdot ( 1 - \ln ( 2 ) - \ln ( 2 ) x ) } \end{array} $$
