Normale an Graphen parallel

Question

Bestimme die stellen x1 und x2 so,dass die Normale an den Graphen zu g(x) parallel zueinander sind. Gibt es Punkte mit einer gemeinsamen Normalen?

g(x)= 1÷x,also 1xtel

D.h. g(x):= 1/x

Bitte mit Erklärung

Answer 1

Könnte denn das Rote eine gemeinsame Normale sein?

~plot~ 1/x;x ~plot~

Text erkannt:

\( f(x)=1 / x ; x | \)
\( f_{1}(x)=1 / x \quad f_{2}(x)=x \)
1
\( x^{-1} \)
Einbettcode für Mathelounge.de: plot \( \sim 1 / x ; x \sim \) plot

Andere Vermutungen?

Comments

Sieht gut aus,aber was wären die Punkte x1 und x2?

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Ich bräuchte eher eine Rechnung

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Falls du schon ableiten kannst,

f(x) = 1/x = x^ (-1)

f ' (x) = - x^ (-2)

Wenn die Normalen parallel sind, ist auch der Kurvenverlauf parallel.

Nun schauen wir mal, welche Möglichkeiten für die Berührungsstellen bestehen. a und b seien verschieden.

- (a)^ (-2) = - (b)^ (-2)                 | * ( - a^2 b^2)

b^2 = a^2

a = 1, b = (-1)

a = 2, b = -2

a = 3, b = -3

usw.

usw. sollte eigentlich alles passen für einander entsprechende Berührungsstellen.

Kontrolliere das mal zeichnerisch und dann natürlich auf rechnerisch.

Answer 2

Für jeden x-Wert (außer 0 und 1) gilt, dass die Normalen in (x|g(x)) und (-x|g(-x)) parallel sind, da der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Bei der Drehung um 180° werden Geraden auf parallele Geraden abgebildet.

Also: x_2=-x_1