Beweis: Kompaktheit endlich- bzw. unendlich vieler Kompakta

Question

Sei X ein metrischer Raum.

(a) Zeigen Sie, dass die endliche Vereinigung von Kompakta K₁, ... , K_n in X wieder
kompakt ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Vereinigung unendlich vieler Kompakta nicht mehr notwendig
kompakt ist (Gegenbeispiel mit Begründung).

Kompaktheit haben wir so definiert, dass M ⊂ X kompakt heißt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung von ∪_i∈I von Ui von M endlich viele Indizes i₁, i₂, ..., i_N gibt, sodass M ⊂ U_i1 ∪ ... ∪ U_iN.

Mein Ansatz wäre, dass man die Vereinigung der Kompakta M nennt und dann zeigt, dass M beschränkt und abgeschlossen ist. (bei a) bin mir aber nicht ganz sicher. und bei b habe ich leider noch keinen Ansatz.

Answer 1

Mein Ansatz wäre, dass man die Vereinigung der Kompakta M nennt und dann zeigt, dass M beschränkt und abgeschlossen ist. (bei a) bin mir aber nicht ganz sicher. und bei b habe ich leider noch keinen Ansatz.

Habt ihr den Satz von Heine-Borel schon bewiesen? Mit der eigentlichen Definition könnte man so argumtieren:

a) Betrachte eine offene Überdeckung von M, dann ist diese auch eine offene Überdeckung für die K_i. Jetzt findest du für jedes K_i eine endliche Teilüberdeckung, da K_i kompakt. Und wenn du jetzt all diese (endlich viele!) endlichen Teilüberdeckungen zusammen packst, erhältst du eine endliche Teilüberdeckung von M.

b) Welche Kompakta in den reellen Zahlen fallen dir ein? Den Satz von Heine-Borel kennst du ja schon. Findest du damit Kompakta deren Vereinigung eine der beiden Bedingungen  (beschränkt und abgeschlossen) verletzt?

Comments

Okay danke, ja den Satz von heinel borel haben wir schon bewiesen.

Answer 2

dass M beschränkt und abgeschlossen ist.

Daraus folgt im Allgemeinen nicht Kompaktheit. Gegenbeispiel ist |X| = ∞ mit der diskreten Metrik

        \(d(x,y) = \begin{cases} 0&\text{falls } x=y\\1&\text{falls } x\neq y \end{cases} \) für alle \(x,y\) ∈ X.

Dann sind alle Teilmengen von X abgeschlossen und beschränkt, aber nur endliche Teilmengen von X kompakt.

Schau dir dazu noch mal genau den Satz von Heine-Borel an.

(a) Zeigen Sie, dass die endliche Vereinigung von Kompakta K1, ... , Kn in X wieder kompakt ist.

Sei U := ∪_i∈I U_i eine offene Überdeckung von M := ∪_i=1..n K_i. Dann ist U auch eine offene Überdeckung von K_i für jedes i=1, ..., n. Dann gibt es für jedes i=1, ..., n eine endliche Teilüberdeckungen von U, die K_i überdeckt. Die Vereinigung dieser Teilüberdeckungen ist eine endliche Teilüberdeckung von U, die M überdeckt.

(b) Zeigen Sie, dass die Vereinigung unendlich vieler Kompakta nicht mehr notwendig kompakt ist

(K_i)_i∈ℕ mit K_i = [-1+1/i, 1-1/i] für jedes i ∈ ℕ.

Finde eine offene Überdeckung von ∪_i∈ℕ Ki, die keine geeignete endliche Teilüberdeckung hat.