Zeigen: Affiner Raum (das Teilverhältnis)

Question

Sei \( X \) ein affiner Raum und \( p_{0}, p_{1}, p \) drei paarweise verschiedene Punkte auf einer Geraden. Sei \( \lambda=T V\left(p_{0}, p_{1}, p\right) \)
(a)  Zeigen Sie, das \( \lambda \notin\{0,1\} \)
(b)  Zeigen Sie, dass \( T V\left(p_{1}, p_{0}, p\right)=1-\lambda, T V\left(p_{0}, p, p_{1}\right)=\lambda^{-1} \) und

 \( T V\left(p, p_{1}, p_{0}\right)= \)\( \frac{-\lambda}{1-\lambda} \)

Comments

Wie ist denn eure Definition von "Teilverhältnis" ?

Mit der von Wikipedia passt es nicht.

---

Hallo,wir haben darüber definiert.

Sei \( X \) ein affiner Raum über \( K, Y \subseteq X \) eine affine Gerade, \( p_{0}, p_{1}, p \in Y \) und \( p_{0} \neq p_{1} . \) Dann nennen wir das eindeutig bestimmte Element \( \lambda \in K \) mit \( \overrightarrow{p_{0} p}=\lambda \overrightarrow{p_{0} p_{1}} \) das Teilverhältnis von \( p_{0}, p_{1}, p . \) Schreibe \( \lambda=\mathrm{TV}\left(p_{0}, p_{1}, p\right) . \) In char \( (K) \neq 2 \) nennen wir \( p \) Mittelpunkt von \( p_{0}, p_{2} \) wenn \( \mathrm{TV}\left(p_{0}, p_{1}, p\right)=\frac{1}{2} \)

Seien \( X, Y \) affine Räume und \( f: X \rightarrow Y \) eine affine Abbildung, seien \( p_{0}, p 1, p \) Punkte in \( X, \) die auf einer Geraden liegen und \( f\left(p_{0}\right) \neq f\left(p_{1}\right) . \) Dann gilt
$$ \mathrm{TV}\left(f\left(p_{0}\right), f\left(p_{1}\right), f(p)\right)=\mathrm{TV}\left(p_{0}, p_{1}, p\right) $$

---

Vom Duplikat:

Titel: zwei Aufgaben zum Teilverhältnis

Stichworte: algebra,beweis,verhältnis

Sei X ein affiner Raum und p₀, p₁, p drei paarweise verschiedene Punkte auf einer Geraden. Sei λ = TV (p₀, p₁, p).
(a)  Zeigen Sie, das λ ∉ {0, 1}.
(b)  Zeigen Sie, dass TV (p₁, p₀, p) = 1−λ, TV (p₀, p, p₁) = λ−1 und TV (p, p₁, p₀) = \( \frac{-λ}{1-λ} \)

---

@emma: Bitte bereits vorhandene Fragen ansehen und eigene Fragen kommentieren, falls du irgendwie weitergekommen bist.

Answer 1

Hallo Claudia,

(a) ist nicht schwer - oder? \(\lambda = 0\) bedeutet doch \(p=p_0\) und dies ist über die Vorgabe 'paarweise verschieden' ausgeschlossen. \(\lambda = 1\) bedeutet ...

(b) ist nur eine Rechnerei - hier am Beispiel von \(\text{TV}(p_1,p_0,p) = 1-\lambda\): $$\begin{aligned} \text{TV}(p_0,p_1,p) &= \lambda \\ \implies \vec{p_0p} &= \lambda \vec{p_0p_1} \\ \vec{p_1p_0} + \vec{p_0p} &= \vec{p_1p_0} + \lambda \vec{p_0p_1} \\ \vec{p_1p} &= \vec{p_1p_0} - \lambda \vec{p_1p_0} \\ \vec{p_1p} &= (1- \lambda)\vec{p_1p_0} \\ \implies \text{TV}(p_1,p_0,p) &= 1-\lambda \end{aligned}$$Vesuche die anderen beiden bitte selbst. Und wenn Du nicht zurecht kommst, so melde Dich bitte.

Comments

Ich habe schon die anderen beiden gelöscht. Vielen Dank für deine Hilfe! :)