Pseudoinverse (Beweise der Eigenschaften)

Question

Aufgabe:

Man zeige für A ∈ ℝ^mxn:

(a) (A⁺)⁺ = A

(b) Ist A ∈ ℝ^nxn  regulär, so ist A⁺ = A^-1

(c) Für m≥n = Rang A ist A⁺ = (A^TA)^-1A^T

(d) Für Rang A = m≤n ist A⁺ = A^T(AA^T)^-1

Ansatz:

für (a) hätte ich:

(A⁺)⁺ = A⁺⁺A⁺A⁺⁺

          = (A⁺⁺A⁺)^TA⁺⁺

          = (A⁺⁺A⁺AA⁺)^TA⁺⁺

          = (AA⁺)^T(A⁺⁺A⁺)^TA⁺⁺

          = A⁺⁺A⁺⁺A⁺A⁺⁺

          = AA⁺AA⁺A⁺⁺

          = A (A⁺A)^T(A⁺A⁺⁺)^T

          = A(A⁺A⁺⁺A⁺A)

          = A(A⁺A)^T

          = AA⁺A

          = A

(so richtig ?)

Und zu b-d habe ich leider keine Ahnung und würde mich sehr freuen, wenn jemand hilft.