Gesamtinhalt der Fläche und Nullstellen bestimmen von Integralen

Question

Gesucht ist der Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall I.

Bestimmen Sie zunächst die Nullstellen von f.

a) f(x)=x^4+x^2-2   I=[-2;3]

b) f(x)=x^3+2x^2-3x    I=[-2;2,5]

c) f(x)=(x+2)(x-1)^2     I=[-2;2]

d)f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)   I=[-1;2]

Ich komme bei keiner Teilaufgabe von denen zurecht und würde mich über komplette Lösungswege freuen

Comments

Für die Nullstellen gilt: f(x) = 0

Nun musst du die x-Werte finden,für die das gilt.

Answer 1

Hallo

1. lass dir die Funktionen plotten. Das hilft dir die Nullstellen zu kontrollieren und zu zeigen, von wo bis wo du jeweils integrieren musst,.

2. Nullstellen finden:

a)x^2=z dann hast du eine quadratische Gleichung für z und für z>0 die Wurzeln aus z als Nullstellen

b) x ausklammern, und wenn ein Produkt 0 ist ist einer der Faktoren 0

c) und d wieder mit dem Nullproduktt,

Dann jeweils von der linken Intervallgrenze zur 1. Nullstelle  integrieren, von der ersten zur zweiten und dann eventuell bis zur oberen Intervalgrenze.  (Nullstellen ausserhalb der gegebenen Intervalle interessieren nicht.

 jeweils die  Beträge der Integralwerte addieren.

Wenn Fragen offen bleiben frag zurück, aber rechne vor, was du schon hast.

Gruß lul

Answer 2

a) f(x)=x^4+x^2-2  I=[-2;3]

b) f(x)=x^3+2x^2-3x    I=[-2;2,5]

c) f(x)=(x+2)(x-1)^2    I=[-2;2]

d)f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)  I=[-1;2]

a) z=x^2 substituieren

   0=z^2+z-2  lösen, resubstituieren

https://www.desmos.com/calculator/7ki8o7ftmt

b) x ausklammern → x=0 ist eine Nullstelle; Klammer gleich Null → weitere Nullstellen

c) Klammern gleich Null → Zwei Nullstellen

d) Klammern gleich Null → Drei Nullstellen

Integrieren: Später ...   :-)

  

Comments

kannst du die Ags komplett berechnen? ich komme nicht klar

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a)

$$f(x)=x^4+x^2-2\\x^2=z\\z^2-z-2=0\\z_{1,2}=-0,5\pm\sqrt{0,25+2}\\ z_1=-2\quad z_2=1\\x^2=-2\Rightarrow \text{  keine Lösung}\\ x^2=1\Rightarrow x_1=1\quad x_2=-1$$

Jetzt berechne die Flächeninhalte von -2 bis -1 (6,53), von -1 bis 1 (2,93) und von 1 bis 3 (53,07) und addiere sie.