Wie ziehe ich die Wurzel aus dieser komplexen Zahl? √( 9/4 - 4i)

Question

Die Aufgabe ist also folgende: $$\sqrt { \frac { 9 }{ 4 }   -4i}$$

Bitte ausführlich, danke! :)

Comments

Erste Hilfe: Kommentar von Nick hierhin kopiert:

 

Du kannst dir das hier mal durchlesen:https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Du musst jedenfalls erstmal die komplexe Zahl in der Exponentialform darstellen.

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Wie gesagt, wenn ich das so gut verstehen würde bräuchte ich diese Seite nicht.

Wenn ihr mir das an dem Beispiel hier erklärt verstehe ich das sicherlich 100x besser als dieses Wikipedia-Deutsch.

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Das ist auch nur ein Kommentar, damit jemand, der helfen will schnell anfangen kann.

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Es ist nicht notwendig eine komplexe Zahl in Exponentialform zu schreiben um die beiden Wurzeln daraus zu bestimmen. Man kann auch so vorgehen, z.B. z=i

Für eine Wurzel muss gelten (a+bi)²=z, also mit Koeffizientenvergleich

a²-b²=Re(z)  und 2ab=Im(z)

Hier also a²-b²=0, d.h. a=b oder a=-b und 2ab=1 damit 2a²=1 (für a=-b wäre -2a²=1 was nicht sein kann)  damit sind $$ \sqrt{\frac{1}{2}(\pm (1 + i)) $$ die beiden Wurzeln von i.

Answer 1

Gesucht sind also komplexe Zahlen a + b i für die gilt:

( a + b i ) ² = ( 9 / 4 ) - 4 i

<=> a ² + 2 a b i - b ² = ( 9 / 4 ) - 4 i

<=> a ² - b ² + 2 a b i = ( 9 / 4 ) - 4 i

Koeffizientenvergleich für Real- und Imaginärteil:

a ² - b ² = 9 / 4

2 a b = - 4

Löse dieses Gleichungssystem. Du erhältst:

a = 1,8492 und b = - 1,0815

oder

a = - 1,8492 und b = 1,0815

Also:

√ ( ( 9 / 4 ) - 4 i ) = 1,8492 - 1,0815 i

oder

√ ( ( 9 / 4 ) - 4 i ) = - 1,8492 + 1,0815 i